写在前面

关于无穷小量的计算、常用等价无穷小，可以看我的另一篇笔记 → 链接

无穷小等价替换可通过泰勒展开式推导出来，这里不做证明。

无穷小等价替换定理

设函数 $f，g，h$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 内有定义，且有 $f(x)\sim g(x)$
(1) 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)h(x)=A$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)h(x)=A$；
(2) 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h(x)}{f(x)}=B$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{h(x)}{g(x)}=B$。
注意： 等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换)。
下面做详细解释

1. 问题的提出

首先看两个例子：
$\begin{array}{rl}& \text{【例 1】求 }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin 2x}{x+\sin 2x}\\ & \text{【解】 原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-2x}{x+2x}=-\frac{1}{3}\\ & \text{【例 2】求 }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\\ & \text{【解】 原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x}{x^3}=0\end{array}$
例 1 正确，但例 2 错误。事实上，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cdot \cos x}$
而 $\sin x\sim x(x\to 0),1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}(x\to 0),\sin x^3\sim x^3(x\to 0)$
故有 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{x\cdot \frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}$
为什么作等价代换后结果会出错？究其原因，无穷小代换在多项式之比中使用时，必须满足一定条件。

2. 等价无穷小代换的原理

等价无穷小代换的实质是舍去余项后的近似计算，因此简化了计算过程(等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，同阶不一定是等价，无穷小等价关系不是相等关系)。
用等价无穷小代换时，例 2 应为
$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+o(x)-(x+o(x))}{x^3}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }=\frac{o(x)}{x^3}\end{array}$
由于分子只是 $x$ 的高阶无穷小，而不是 $x^3$ 的高阶无穷小，所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x)}{x^3}$不一定等于零.
用Taylor定理说明.

$\begin{array}{rl}\text{将}& \tan x\text{和}\sin x\text{都展开到 }{x}^3\text{时：}\\ & \tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3),\\ & \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3).\end{array}$
$\begin{array}{rl}\text{则 }& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)-\left[x-\frac{x^3}{3!}o(x^3)\right]}{x^3}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3)}{x^3}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{o(x^3)}{x^3})=\frac{1}{2}.\end{array}$

3. 等价无穷小代换条件

3.1. 商(积)式代换

定理 1 在自变量同一变化过程中，设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$，且 $\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$存在，则
$$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$$
$\begin{array}{rl}\text{【例 3】求：}& (1)\underset{x\to 1}{\lim }=\frac{\ln (1+\sqrt[3]{x-1})}{\arcsin \sqrt[3]{x-1}}\\ & (2)\underset{x\to 0}{\lim }=\frac{\ln ({\sin }^{2}x+{\mathrm{e}}^x)-x}{\ln (x^2-{\mathrm{e}}^{2x})-2x}.\end{array}$
$\begin{array}{rl}\text{【解】 }& (1)原式=\underset{x\to 1}{\lim }=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{\sqrt[3]{x-1}}=1.\\ & \begin{array}{rl}(2)\text{原式}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln {\mathrm{e}}^x\left(1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\mathrm{e}}^x}\right)-x}{\ln {\mathrm{e}}^{2x}\left(1+\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^{2x}}\right)-2x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\mathrm{e}}^x}\right)}{\ln \left(1+\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^{2x}}\right)}[\ln (1+x)\sim x]\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{{\sin }^{2}x}{{\mathrm{e}}^x}}{\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^{2x}}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}{\mathrm{e}}^x=1.\end{array}\end{array}$

3.2. 幂式代换

定理 2 设$\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$
(1) 若 $\alpha >0$，则 $\frac{1}{\ln \alpha }\sim \frac{1}{\ln {\alpha }^{\prime }}$
(2) 若 $\alpha ,\beta >0$，且 $\lim {\beta }^{\prime }\ln {\alpha }^{\prime }$存在，则
$$\lim {\alpha }^{\beta }=\lim {{\alpha }^{\prime }}^{{\beta }^{\prime }}$$
(3) 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$，且 $\lim (1+{\alpha }^{\prime }{)}^{\frac{1}{{\beta }^{\prime }}}=A$，则
$$\lim (1+\alpha {)}^{\frac{1}{\beta }}=\lim (1+{\alpha }^{\prime }{)}^{\frac{1}{{\beta }^{\prime }}}=A$$
$\begin{array}{rl}\text{【例 4】 求：}& (1)\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x{)}^{\frac{1}{x}};\\ & (2)\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\cos \frac{1}{x}\right)}^{x^2}.\end{array}$
$\begin{array}{rl}\text{【解】 }& (1)原式=\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}\ln (1-2x)}=\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}(-2x)}={\mathrm{e}}^{-2}\\ & \begin{array}{rl}(2)原式& =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[1-2{\sin }^2\left(\frac{1}{2x}\right)\right]}^{x^2}(\cos 2\phi =1-2{\sin }^2\phi )\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{2x^2}\right)}^{x^2}\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1-\frac{1}{2x^2}\right)}^{2x^2}\right]}^{\frac{1}{2}}[\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x=e^{-1}]\\ & ={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}.\end{array}\end{array}$

3.3. 和差代换

定理 3 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$，则
(1) 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 不等价，则$$\alpha -\beta \sim {\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }.$$
(2) 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价，则 $\alpha -\beta$ 与 ${\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }$ 未必等价.
推论 设 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是自变量同一变化过程中的无穷小量，且 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$，则
(1) 当 $\alpha$ 与 $\beta$ 不等价时，则 $$\lim \frac{\alpha -\beta }{\gamma }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }}{\gamma }.$$
(2) 当 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价时，上式极限未必成立.

定理 4 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime }$，则
(1) $\lim \frac{\alpha }{\beta }=c\ne -1\text{或}\infty$，则 $$\alpha +\beta \sim {\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }$$
(2) 当 $\gamma \sim {\gamma }^{\prime },\delta \sim {\delta }^{\prime }$，且 $\lim \frac{a\alpha }{b\beta }=e^{\prime }\ne -1$ 和 $\lim \frac{c\gamma }{d\delta }=e^2=c\ne -1$（其 中 $a,b,c,d$ 为常数)，则
$$\lim \frac{a\alpha +b\beta }{c\gamma +d\delta }=\lim \frac{a{\alpha }^{\prime }+b{\beta }^{\prime }}{c{\gamma }^{\prime }+d{\delta }^{\prime }}$$
(3) 如果无穷小量 ${\alpha }_i\sim {\beta }_i,{\lambda }_i$ 为常数 $(i=1,2,\cdots ,n)$ ，且
$$\lim \frac{{\lambda }_1{\alpha }_1}{{\lambda }_2{\alpha }_2}\ne -1,\lim \frac{{\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2}{{\lambda }_3{\alpha }_3}\ne -1,\cdots ,\lim \frac{{\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+\cdots +{\lambda }_{n-1}{\alpha }_{n-1}}{{\lambda }_n{\alpha }_n}\ne -1$$
则
$${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+\cdots +{\lambda }_n{\alpha }_n\sim {\lambda }_1{\beta }_1+{\lambda }_2{\beta }_2+\cdots +{\lambda }_n{\beta }_n(n⩾2).$$

总结

可直接等价替换的类型

$\begin{array}{r}\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}\end{array}$
$\lim {\alpha }^{\beta }=\lim {\alpha }^{\prime {\beta }^{\prime }}$
$\lim {\left(\frac{1}{\alpha }\right)}^{\beta }=\lim \frac{1}{{\alpha }^{\beta }}=\lim \frac{1}{{\alpha }^{\prime {\beta }^{\prime }}}=\lim {\left(\frac{1}{{\alpha }^{\prime }}\right)}^{{\beta }^{\prime }}$
$\lim \left(1+\alpha \right){}^{\frac{1}{\beta }}=\lim \left(1+{\alpha }^{\prime }\right){}^{\frac{1}{{\beta }^{\prime }}}$
以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则.

需要满足一定条件才能替换的类型

若 $\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}\ne -1$，则 $\alpha +\beta \sim {\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }$
(该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据)
变上限积分函数(积分变限函数)也可以用等价无穷小进行替换。

个人笔记，如有错误，烦请指正 : )