理论基础
一. 动态规划刷题大纲
二. 动态规划适用情况
如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，
三. 动态规划解题步骤
动态规划五步曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？
因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
四. 动态规划debug
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。
然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。
这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。
可以自己先思考这三个问题：
- 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
- 我打印dp数组的日志了么？
- 打印出来了dp数组和我想的一样么？
如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了，或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白，是状态转移不明白，还是实现代码不知道该怎么写，还是不理解遍历dp数组的顺序。
509. 斐波那契数
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
输入：n = 2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
思路
算是动归最入门的题目了, dp数组含义, 递推公式 初始化等题目均说的非常明白
代码
class Solution {
public int fib(int n) {
// dp[n] 表示f(n)的值
// 状态转移公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2];
if(n == 0 || n == 1){
return n;
}
int []dp = new int [n + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i=2; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
思路
爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了
到达第n阶有两种可能,n-1层爬一个 或者 n-2 层爬两个
代码
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// dp[n] 代表爬到第n阶的所有方法
// 递推 dp[n] = dp[n-2] + dp[n-1] 到达第n阶有两种可能,n-1层爬一个 或者 n-2 层爬两个
int dp[] = new int [n+1];
if(n == 1 || n == 2){
return n;
}
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for(int i=3; i <= n ; i++){
dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1];
}
return dp[n];
}
}746. 使用最小花费爬楼梯
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例 1：
输入：cost = [10,15,20] 输出：15 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。 - 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 15 。
示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1] 输出：6 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 6 。
思路
dp数组含义就定义为到达n阶的最小代价,
可以想到递推公式 dp[n] = min (dp[n-1] + cost[n-1], dp[n-2] + cost[n-2])
同时注意初始化 dp[0] dp[1] 为0
代码
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
// dp[n] 代表 爬到第n阶 需要的最小费用
// dp[n] = min (dp[n-1] + cost[n-1], dp[n-2] + cost[n-2])
int n = cost.length;
int dp[] = new int [n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for(int i=2; i < n+1; i++){
dp[i] = Math.min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
// System.out.println(dp[i]);
}
return dp[n];
}
}递归算法的时间复杂度分析
递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数。
通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！ | 代码随想录 (programmercarl.com)
可以思考一下下列递归算法的时间复杂度, 下列算法均用于 求x的n次方
①
int function1(int x, int n) {
int result = 1; // 注意 任何数的0次方等于1
for (int i = 0; i < n; i++) {
result = result * x;
}
return result;
}②
int function2(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1; // return 1 同样是因为0次方是等于1的
}
return function2(x, n - 1) * x;
}③
int function3(int x, int n) {
if (n == 0) return 1;
if (n == 1) return x;
if (n % 2 == 1) {
return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
}
return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}④
int function4(int x, int n) {
if (n == 0) return 1;
if (n == 1) return x;
int t = function4(x, n / 2);// 这里相对于function3，是把这个递归操作抽取出来
if (n % 2 == 1) {
return t * t * x;
}
return t * t;
}答案:
前三个均为O(n) 只有第四个是O(logn)