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数学分析（第五版上册）华东师范大学数学科学学院编

有理函数

有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{{\alpha }_0{x}^n+{\alpha }_1{x}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_n}{{\beta }_0{x}^m+{\beta }_1{x}^{m-1}+\cdots +{\beta }_m}$$

其中 $n,m$ 为非负整数

${\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 与 ${\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 都是常数，且 ${\alpha }_0\ne 0,{\beta }_0\ne 0$

若 $m>n$ ，则 $R$ 为真分式；若 $m⩽n$ ，则 $R$ 为假分式

由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和

多项式的积分容易求得，此处只研究真分式的不定积分

问题由从求有理函数的不定积分变为求真分式的不定积分

部分分式分解

对分母 $Q(x)$ 在实系数内作标准分解

$$Q(x)=(x-a_1{)}^{{\lambda }_1}\cdots (x-a_s{)}^{{\lambda }_s}(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (x^2+p_{t}x+q_t{)}^{{\mu }_t}$$

其中 ${\beta }_0=1,{\lambda }_i,{\mu }_i$ 均为自然数，而且

$$\sum _{i=1}^s{\lambda }_i+2\sum _{j=1}^t{\mu }_j=m,p_j^2-4q_j<0$$

其实就是解方程 $Q(x)=0$ 。由于是在实系数内作标准分解，所以复数解以二次多项式的形式出现

根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式

对于 $(x-a{)}^k$

$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$$

对于 $(x^2+px+q{)}^k$

$$\frac{B_{1}x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_{2}x+C_2}{(x^2+px+q{)}^2}+\frac{B_{k}x+C_k}{(x^2+px+q{)}^k}$$

把所有部分分式加起来，使之等于 $R$

$A_i,B_i,C_i$ 为待定系数

书上在写这之前，提了下多项式互素的性质，推出

$$\frac{1}{Q_1{Q}_2}=\frac{P_1{Q}_1+P_2{Q}_2}{Q_1{Q}_2}=\frac{P_1}{Q_2}+\frac{P_2}{Q_1}$$

但没有点明 $P_1,P_2$ 的次数是小于对应的 $Q_2,Q_1$

确定待定系数

一般方法是将所有部分分式通分相加

所得分式的分母即为原分母 $Q$

其分子亦应与原分子 $P$ 相等

按同幂项系数相等，得到关于待定系数的线性方程组，求解得出待定系数

两种形式的不定积分

完成部分分式分解后，问题又变为求以下两种形式的不定积分

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^k},\int \frac{Lx+M}{(x^2+px+q{)}^k}\mathrm{d}x$$

前一种能直接看出来

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^k}=\{\begin{array}{ll}\ln |x-a|+c& ,k=1\\ \frac{1}{(1-k)(x-a{)}^{k-1}}+c& ,k>1\end{array}$$

后一种就比较繁琐

令 $t=x+p/2$ ，则

$$\int \frac{Lx+M}{(x^2+px+q{)}^k}\mathrm{d}x=\int \frac{Lt+N}{(t^2+r^2{)}^k}\mathrm{d}t=L\int \frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2{)}^k}+N\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2{)}^k}$$

其中 $r^2=q-p^2/4,N=M-\frac{pL}{2}$

当 $k=1$ 时

$$\int \frac{t\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{2}\ln (t^2+r^2)+c$$

$$\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{r}\arctan \frac{t}{r}+c$$

当 $k>1$ 时

第一个不定积分为

$$\int \frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2{)}^k}=\frac{1}{2(1-k)(t^2+r^2{)}^{k-1}}+c$$

对于第二个不定积分，记

$$I_k=\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2{)}^k}$$

可用分部积分法导出递推公式如下

$$I_k=\frac{t}{2r^2(k-1)(t^2+r^2{)}^{k-1}}+\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}{I}_{k-1}$$

这就是求有理函数不定积分的一般方法