3.2

1. 轨迹不同于路径，需要是光滑的，考虑无人机动力学约束
2. 三阶导控制jerk，四阶导控制snap
3. 如果轨迹要满足某个特点，如：最短时间、最短路径，此时最优控制思路会被引入，变分法等算法可用以求解,选择$x\ast$使得泛函（functional）$\mathcal{L}$取得最优。
   
4. 欧拉-拉格朗日方程：最优值的必要条件
   $$\begin{gathered} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)+\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\right)+\dots +(-1{)}^n\frac{d^n}{d{t}^n}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{(n)}}\right)=0 \end{gathered}$$
5. 最短距离轨迹也是最小速度轨迹
   证明：最小速度轨迹满足
   $$x^{\star }(t)=\underset{x(t)}{\mathrm{argmin}}{\int }_0^T{\dot{x}}^{2}dt$$
   通过欧拉-拉格朗日方程，解得该$x^{\star }(t)$为一条直线。
   而采用分段微分再积分的方法，最短距离轨迹满足
   $$x^{\star }(t)=\underset{x(t)}{\mathrm{argmin}}{\int }_0^T\sqrt{1+{\dot{x}}^2}dt$$
   解出来仍是一条直线，起点终点相同，只有一条直线。

Quiz 3

1. 优化k阶导数，会得到（2k-1）阶的轨迹曲线
2. 我们在设计控制模块中的控制器时所做的简化假设有：无人机位于平衡（悬停）点附近，角速度、俯仰角、滚转角接近于0（交叉相乘项直接忽略）