网上很多关于FFT变换的应用，但是对其性质的探索并不多。
我做了一个简单的实验，来探讨平移，缩放，旋转的性质。
由于我浅薄的知识，如有不对的地方，请各位大佬指正。

• 平移：FFT具有平移不变性，在空域平移图像，频域的信号不发生变换。
• 旋转：旋转同一性，空域图像的旋转，也会带动频域图像的旋转。
• 缩放：在空域缩小图像，频域的信号会相应的缩小信息量，视觉上体现为放大频谱图。

代码实现

先写一些准备代码，这里要注意，需要将fft2变换的结果，进行后续处理，方便展示。
1.abs傅里叶变换的结果是复数，需要取模转为实数
2. +(1 ** 10)防止矩阵为0，无法进行$log$运算
3. log傅里叶变换的结果，范围很大，例如对于lena来说，变化范围为$[-10^7,10^9]$，所以我们需要用$log$函数进行缩小范围，提升视觉观感
4. fftshift：将直流分量变化到中间，提升观感

fft2变化函数：

def fft2_log(data):
    res = np.fft.fft2(data)
    res = np.log(np.abs(res) + (1 ** -10))
    res = np.fft.fftshift(res)
    return res

显示图像函数：

def show_imgs(imgs, titles):
    fig, axs = plt.subplots(nrows = 1,ncols = len(imgs), figsize = [20,20])
    for i in range(len(imgs)):
        axs[i].imshow(imgs[i], cmap = plt.cm.gray)
        axs[i].set_xlabel(titles[i])

平移

I = Image.open('lena.png').convert('L')
I = np.array(I)
img = np.pad(I, ((0,512),(0,512)))
img_fft = fft2_log(img)

res = np.pad(I, ((512,0),(0,512)))
res_fft = fft2_log(res)

show_imgs([img,img_fft, res,res_fft],['img','img_fft','move','move_fft'])

我们可以看出，空域图像从左上移到左下，频率域的图像没有变化
我们应当将频率域的图像理解为很多波的集合，是一个无限延展的空间
我们只是截取了其中一块，这对理解后面的缩放很重要。

空域图像平移，并不会影响到这些波相位，幅度，频率的变换（其只和空域图像的起伏有关）。
所以，在空域平移不会影响频域的变换。

旋转

I = Image.open('lena.png').convert('L')
img = np.array(I)
img = np.pad(I, ((256,256),(256,256)))
img_fft = fft2_log(img)

res = Image.fromarray(img).rotate(45)

res = np.array(res)
res_fft = fft2_log(res)

show_imgs([img,img_fft, res,res_fft],['img','img_fft','rotate','rotate_fft'])

旋转很好理解，在空域的旋转，会影响到频率域的相位，所以频域的图像也同样跟着旋转
 

缩放

I = Image.open('lena.png').convert('L')
img = np.array(I)
img = np.pad(I, ((256,256),(256,256)))
img_fft = fft2_log(img)

res = I.resize([1024,1024])
res = np.array(res)
res_fft = fft2_log(res)

show_imgs([img,img_fft, res,res_fft],['img','img_fft','scale','scale_fft'])

缩放是FFT最有趣的一个性质，我们换一个角度，从信息量的角度去考虑。
从右边的大图看起，当图像缩小时，所包含的信息量也会同样的缩小，
所以，我们可以去按照缩小的比例，截取同样的信息量。
同时，我们知道，图像缩小时，损失的都是高频的信息量，保留的是低频的信息量，
所以，我们需要保留频率域的中间一部分，即低频的信息量。
然后，我们将保留的频域信息铺满（放大），即可得到缩小后的频率图像。
这在视觉上体现为，空域缩小，频域放大的效果。