1.最大公约数和最小公倍数概述

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）：

也称为最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如，对于整数12和18，它们的约数分别为：

• 12的约数有1、2、3、4、6、12。
• 18的约数有1、2、3、6、9、18。

可以看出它们共有的约数有1、2、3、6，其中最大的就是6，所以12和18的最大公约数是6。

最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）：

是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。继续以12和18为例，它们的倍数分别为：

• 12的倍数有12、24、36、48、60、72……
• 18的倍数有18、36、54、72、90……

可以发现它们公有的倍数有36、72……其中最小的是36，所以12和18的最小公倍数是36。

2. 求解最大公约数和最小公倍数的方法

1. 辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数：

用较大数除以较小数得到商和余数，再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数。

例如求252和105的最大公约数：

• 252 ÷ 105 = 2……42
• 105 ÷ 42 = 2……21
• 42 ÷ 21 = 2……0

此时余数为0，除数21就是252和105的最大公约数。

2. 通过最大公约数求最小公倍数：

两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。

例如已知12和18的最大公约数是6，那么它们的最小公倍数 = 12 × 18 ÷ 6 = 36 。

3. 辗转相除法

4. C++ 代码实现及分析

#include <iostream>
using namespace std;

// 求最大公约数的函数，使用辗转相除法
int gcd(int a, int b) {
    while (b!= 0) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

// 求最小公倍数的函数
int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

int main() {
    int num1, num2;
    cout << "请输入两个整数：";
    cin >> num1 >> num2;

    int greatestCommonDivisor = gcd(num1, num2);
    int leastCommonMultiple = lcm(num1, num2);

    cout << num1 << " 和 " << num1 << " 的最大公约数是：" << greatestCommonDivisor << endl;
    cout << num1 << " 和 " << num1 << " 的最小公倍数是：" << leastCommonMultiple << endl;

    return 0;
}

代码分析：

• 在代码中，定义了两个函数 gcd 和 lcm。
  • gcd 函数用于求两个数的最大公约数，它通过不断地进行辗转相除操作，直到余数为0，此时返回的 a 就是最大公约数。例如，传入 a = 252，b = 105，在函数内部的循环过程中，会不断更新 a 和 b 的值，直到 b 变为0，最终得到最大公约数。
  • lcm 函数用于求最小公倍数，它直接调用 gcd 函数先求出最大公约数，然后按照两个数的乘积除以最大公约数的公式来计算最小公倍数。