1 朴素贝叶斯简介

作为机器学习中少有的生成模型，朴素贝叶斯(Naive Bayes) 是基于统计学中 贝叶斯定理 发展而来的，其中的 朴素(Navie) 二字表明假设数据特征之间均为独立的。它主要应用于 nlp 领域，例如文本分类，情感分析，语法纠错，语言模型等。我们则以传统分类算法进行展开。

2 统计学知识

在细致地了解朴素贝叶斯前回顾一些简单的概率统计知识，能有效帮助我们推导朴素贝叶斯。

① 联合概率与条件概率

假设有一种数据有两个特征$A$, $B$
不管两者是否独立，我们都可以写出联合概率与条件概率之间的关系，为
$$P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$$

联合概率 $P(A,B)$ 可以理解为数据中既符合特征$A$，又符合特征$B$的数据占比。
假设我们想求得联合概率 $P(A,B)$，应该怎么办呢，可以试着从先求得数据中符合特征 $A$ 的占比，然后 $A$ 的条件基础之上求得符合特征 $B$ 的占比。据此思路就是求得$P(A)P(B|A)$。当然我们也可以从特征 $B$ 的角度出发，同理得到$P(B)P(A|B)$。

如果特征 $A,B$ 之间是独立的，我们还可以有
$$P(A,B)=P(A)P(B)$$

② 贝叶斯定理

基于上面所推得的联合概率与条件概率公式
$$P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$$
假设我们数据集含特征X，标签Y，同样有
$$P(Y|X)P(X)=P(X|Y)P(Y)$$
经过简单的变换可以得到著名的贝叶斯定理，为 $$P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$$

其中的 $P(Y),P(X)$ 为特征 $X$，与标签 $Y$ 的 先验概率(边缘概率)，先验概率指的是某件事情发生或存在的概率。比如 $P(Y)$，表明所有数据中标签符合 $Y$ 的概率，是可以通过检查数据集中的标签提前得到的，对特征 $X$ 同理。

其中 $P(Y|X),P(X|Y)$ 为 后验概率(条件概率)，指的是另一件事在某个条件下发生或存在的概率，也可以理解为在某件事已经发生或存在的前提下，另一件事情发生的概率。对于 $P(Y|X)$，表明在已知特征X的前提下，求得它符合特定标签Y的概率。

3 算法使用过程

假设存在一个数据集，有n个特征，序列为{ $x_1,x_2...x_n$}，m个类别，序列为{ $y_1,y_2...y_m$}，如果我们要求得某个特定数据 $X_j$ 属于类别 $y_k$ 的概率，根据贝叶斯定理，我们有
$$P(Y=y_k|X=X_{}$$