Description

两个人玩儿n局石头剪刀布，每局每个人出石头剪刀布的概率相同，玩$n$局后假设第一个人赢$a$局，第二个人赢$b$局，那么得分就是$gcd(a,b)$，设得分的期望为$s$，求$s\times 2^{2n}$，结果模$mod$

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入两个整数$n$和$mod$表示游戏局数和模数

$(1\le T\le 20,1\le n\le 10^5,10^8\le mod \le 10^9,mod是素数)$

Output

对于每组用例，输出$s\times 3^{2n}$模$mod$的结果

Sample Input

5
1 998244353
2 998244353
3 998244353
4 998244353
5 998244353

Sample Output

6
90
972
9720
89910

Solution

$ans=\sum\limits_{a=0}^n\sum\limits_{b=0}^{n-a}3^ngcd(a,b)C_n^aC_{n-a}^b=3^n\sum\limits_{d=1}^nd\times F(d)$ ，其中$F(d)=\sum\limits_{a=0}^n\sum\limits_{b=0}^{n-a}C_n^aC_{n-a}^b[gcd(a,b)=d]$

令$f(d)=\sum\limits_{a=0}^n\sum\limits_{b=0}^{n-a}C_n^aC_{n-a}^b[d|gcd(a,b)][gcd(a,b)>0]=\sum\limits_{a=0}^{\frac{n}{d}}\sum\limits_{b=0}^{\frac{n}{d}-i}C_n^{id}C_{n-id}^{jd}-1$

由$F(d)$和$f(d)$的定义知$f(d)=\sum\limits_{d|n}F(n)$，莫比乌斯反演得$F(k)=\sum\limits_{k|d}\mu(\frac{d}{k})f(d)$，进而

$ans=\sum\limits_{k=1}^nkF(k)=\sum\limits_{k=1}^nk\sum\limits_{k|d}\mu(\frac{d}{k})f(d)=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{k|d}k\mu(\frac{d}{k})f(d)=\sum\limits_{d=1}^n\varphi(d)f(d)$

$\sum\limits_{i=0}^{\frac{n}{d}}\sum\limits_{j=0}^{\frac{n}{d}-i}C_n^{id}C_{n-id}^{jd}=\sum\limits_{i=0}^{\frac{n}{d}}\sum\limits_{j=0}^{\frac{n}{d}-i}C_n^{id+jd}C_{id+jd}^{jd}=\sum\limits_{i=0}^{\frac{n}{d}}\sum\limits_{j=0}^{i}C_n^{id}C_{id}^{jd}(令i=i+j)=n!\sum\limits_{i=0}^{\frac{n}{d}}\frac{1}{(n-id)!}\sum\limits_{j=0}^{i}\frac{1}{(jd)!}\frac{1}{((i-j)d)!}$

用$FFT$处理$\sum\limits_{j=0}^{i}\frac{1}{(jd)!}\frac{1}{((i-j)d)!}$，时间复杂度$O(\sum\limits_{d=1}^n\frac{n}{d}log\frac{n}{d})=O(nlog^2n)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define maxfft 262144+5
const double pi=acos(-1.0);
int T,n,mod,fact[maxn],inv[maxn],A[maxn],B[maxfft];
int inc(int a,int b)
{
    return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;
}
int dec(int a,int b)
{
    return a-b<0?a-b+mod:a-b;
}
struct cp
{
    double a,b;
    cp operator +(const cp &o)const {return (cp){a+o.a,b+o.b};}
    cp operator -(const cp &o)const {return (cp){a-o.a,b-o.b};}
    cp operator *(const cp &o)const {return (cp){a*o.a-b*o.b,b*o.a+a*o.b};}
    cp operator *(const double &o)const {return (cp){a*o,b*o};}
    cp operator !() const{return (cp){a,-b};}
}w[maxfft];
int pos[maxfft];
void fft_init(int len)
{
    int j=0;
    while((1<<j)<len)j++;
    j--;
    for(int i=0;i<len;i++)
        pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);
}
void fft(cp *x,int len,int sta)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);
    w[0]=(cp){1,0};
    for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
        for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
        for(int j=1;j<i>>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
        for(int j=0;j<len;j+=i)
        {
            cp *a=x+j,*b=a+(i>>1);
            for(int l=0;l<i>>1;l++)
            {
                cp o=b[l]*w[l];
                b[l]=a[l]-o;
                a[l]=a[l]+o;
            }
        }
    }
    if(sta==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i].a/=len,x[i].b/=len;
}
cp x[maxfft],y[maxfft],z[maxfft];
void FFT(int *a,int *b,int n,int m,int *c)
{
    for(int i=0;i<n+m-1;i++)c[i]=0;
    if(n<=100&&m<=100||min(n,m)<=5)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<m;j++)
                c[i+j]=inc(c[i+j],(ll)a[i]*b[j]%mod);
        return ;
    }
    int len=1;
    while(len<n+m)len<<=1;
    fft_init(len);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int aa=i<n?a[i]:0,bb=i<m?b[i]:0;
        x[i]=(cp){(aa>>15),(aa&32767)},y[i]=(cp){(bb>>15),(bb&32767)};
    }
    fft(x,len,1),fft(y,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int j=len-1&len-i;
        z[i]=((x[i]+!x[j])*(y[i]-!y[j])+(x[i]-!x[j])*(y[i]+!y[j]))*(cp){0,-0.25};
    }
    fft(z,len,-1);
    for(int i=0;i<n+m-1;i++)
    {
        ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod;
        ta=(ta<<15)%mod;
        c[i]=inc(c[i],ta);
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int j=len-1&len-i;
        z[i]=(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*(cp){-0.25,0}+(x[i]+!x[j])*(y[i]+!y[j])*(cp){0,0.25};
    }
    fft(z,len,-1);
    for(int i=0;i<n+m-1;i++)
    {
        ll ta=(ll)(z[i].a+0.5)%mod,tb=(ll)(z[i].b+0.5)%mod;
        ta=(ta+(tb<<30))%mod;
        c[i]=inc(c[i],ta);
    }
}
int euler[maxn],prime[maxn],res;
void get_euler(int n=100000)
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!euler[i])euler[i]=i-1,prime[res++]=i;
        for(int j=0;j<res&&prime[j]*i<=n;j++)
        {
            if(i%prime[j]) euler[prime[j]*i]=euler[i]*(prime[j]-1);
            else
            {
                euler[prime[j]*i]=euler[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
int mod_pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    get_euler();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&mod);
        fact[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
        inv[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        inv[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%mod;
        int ans=0;
        for(int d=1;d<=n;d++)
        {
            int temp=0;
            for(int i=0;i<=n/d;i++)A[i]=inv[i*d];
            FFT(A,A,n/d+1,n/d+1,B);
            for(int i=0;i<=n/d;i++)
                temp=inc(temp,(ll)inv[n-i*d]*B[i]%mod);
            temp=(ll)temp*fact[n]%mod*euler[d]%mod;
            ans=inc(ans,temp);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=dec(ans,euler[i]);
        ans=(ll)ans*mod_pow(3,n)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}