快速傅里叶变换，在竞赛中离散傅里叶变换DFT及其逆变换IDFT尤为常用，主要用于快速求多项式的乘积。形式化地说，多项式就是某个$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$，两个系数分别为$a_i$和$b_i$，那么$(f\times g)(x)=f(x)g(x)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j{x}^{i+j}$，容易看出这个多项式是$2n$次的。
【补充知识1】我们接着先看一下一个叫卷积的东西。卷积实际上就是对应相乘，$(f\otimes g)(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_i{x}^i$，可以稍微理解一下，实质上我们如果将乘法视为一种变换，卷积就是在向量上的变换的叠加。
【补充知识2】
其实，对于一条$n$次的多项式曲线，我们可以通过类比认识到我们需要$n+1$个不同的点就可以唯一确定这条曲线。比如说一次函数需两个点，二次函数需三个点，等等。我们考虑到，我们表达这些函数为$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$，那么如果我们现在得知了$n+1$个函数上的点，直接代入就可以相应得出$n+1$个方程，由于点两两不同，所以这个方程组一定恰有一组解，这也就确定了一条唯一的曲线。

好的，接下来是真正的内容。
我们可以发现，要确定最终的$(f\otimes g)(x)$，需要使用$2n+1$个点值表达，也就是在最终结果曲线上的$2n+1$个点。我们如果考虑在$f(x)$和$g(x)$上取$2n+1$个点，设为$(x_i,{y_f}_i)$和$(x_i,{y_g}_i)$，我们发现只要将其卷积一下，我们就能够找到这$2n+1$个点。这是很好理解的，因为将${y_f}_i$和${y_g}_i$卷积后作为新的纵坐标所得到的点，显然就在$(f\otimes g)(x)$上。
那么我们的问题就只剩下怎样计算和如何再次快速确定了。
我们考虑下分治，如果我们将系数向量中奇数项和偶数项分开来，我们会发现所得的两个式子间有一定的相似性：$$a_1{x}^1+a_3{x}^3+\cdots +a_{2k+1}{x}^{2k+1}$$$$a_0{x}^0+a_2{x}^2+\cdots +a_{2k}{x}^{2k}+\cdots$$
实际上，我们考虑将上面的式子变为$x(a_1{x}^0+a_3{x}^2+\cdots +a_{2k+1}{x}^{2k}+\cdots )$，再将各项的次数折半（因为是偶数），我们现在就能够得到两个规模相对于原来的问题减半的子问题，可以递归求解，这里我们就得出了DFT的算法，由主定理对于$T(n)=2T(\frac{n}{2})+\text{O}(n)$，马上看出其复杂度$\text{O}(n\lg n)$。
但是，在还原的时候，我们却遇到了一个困难：我们如何将点值表达快速变为系数表达？难道我们去用高斯消元法？这样$\text{O}(n^3)$岂不是比原来还慢？我们来观察一下DFT的实质。我们将DFT的效果写成这样一个矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& x_0& \cdots x_0^n& \\ 1& x_1& \cdots x_1^n& \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots x_n^n& \end{array}\right]$$
稍微解释下，根据线性代数，这个东西乘上我们的系数向量之后所得就是对应的$x=x_{0,1,\cdots ,n}$时$(f\otimes g)(x)$的结果。这个东西是很显然的，考虑用线性变换的角度理解。
然后我们考虑DFT的逆变换，即所谓IDFT，其的实质就是乘上DFT所乘上的这个矩阵的一个逆矩阵。由逆矩阵定义，我们可以考虑猜想在逆矩阵中$(j,k)$处，数为$x_k^{-j}\times C$，其中$C$是一个常数。那么如果将两个矩阵乘起来，再考虑$(j,j^{\prime })$处的值，为$$\sum _{k=0}^n{x}_k^{j^{\prime }-j}C$$要满足逆矩阵条件$V{V}^{-1}=I_n$，我们需要当且仅当$j^{\prime }=j$的时候上式为$1$，其余情况为$0$。先看第一个条件，代进去得到${\sum }_{k=0}^{n}C=1$，得$C=\frac{1}{n}$。代回去并根据第二个条件我们有$$\sum _{k=0}^n{x}_k^{j^{\prime }-j}=0(j^{\prime }\ne j)$$
然后我并不知道怎么一直推下去，于是我们直接来一个构造法。我们令$x_k=w_n^k$，然后我们就得到了一个等比数列，按照上式求和根据公式可以得到$$\sum _{k=0}^n(w_n^k{)}^{j^{\prime }-j}=\sum _{k=0}^n(w_n^{j^{\prime }-j}{)}^k=\frac{(w_n^{j^{\prime }-j}{)}^n-1}{w_n^{j^{\prime }-j}-1}=0$$，即（这里跳了一步移项）$$(w_n^{j^{\prime }-j}{)}^n=1$$我们又考虑到，$j^{\prime }$和$j$取遍$0\cdots n$间的所有值，所以上式可以改为$(w_n^k{)}^n=w_n^{kn}=1$，其中$k$的值域为从$-n$到$n$。
然后，我们考虑先取$k=1$，本质上这里说的就是我们需要这样的一类不同的$2n$个数使得$(w_n{)}^n=1$。显然在实数域中只能有$1$（以及$-1$，因为我们在分治的时候预先补了零使得次数是$2^d$）满足这个性质，显然太少了，怎么办？
我们考虑扩展取值范围。一种方法，就是不只考虑实轴，我们可以考虑下复平面。也就是说，我们可以不只考虑$a\in \mathbb{R}$，而是考虑所有$a+bi\in \mathbb{C}$，其中$a,b\in \mathbb{R}$，而这里的$i$，是一个曾经数学中往往避开的事物，满足$i^2=-1$。实质上来说，复数可以理解为一种向量，比如说两个复数相加就是向量作用的叠加，而两个复数的积，则是另一种程度上的叠加。比方说我们考虑到，我们用极坐标也可以确定向量，进而确定复数，我们由变换$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}x& =& \rho \cos \theta \\ y& =& \rho \sin \theta \end{array}$$
我们可以得出在极坐标意义下$a+bi$可以写成$\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$，考虑两个复数相乘的时候，我们有（涉及高中三角学知识，若无基础可以跳过）$${\rho }_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\times {\rho }_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)={\rho }_1{\rho }_2(\cos {\theta }_{1}cos{\theta }_2+i\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2\cos {\theta }_1-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)$$考虑利用各种和差化积公式（具体推导这里略去），得到乘积为${\rho }_1{\rho }_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$，实质上就是长度相乘，旋转角相加。
我在继续来考量下这个概念有什么用。上面的$(w_n{)}^n=1$在变换群里面其实对应的是一种循环，称作生成元。我们考虑到，如果对应在复平面上，我们考虑令$\rho =1$，然后长度上不管怎么乘都不会变，最后也就是$1$（由于$\rho$被要求是非负实数），然后神奇的东西来了，我们令$\theta =2\pi /n$，也就是将整个复平面划分成$n$份，那么根据我们刚才的相乘原则，这个复数向量$\cos (\frac{2\pi }{n}+i\sin (\frac{2\pi }{n}))$实际上就是我们所要求的$w_n$。继续考量下它的性质，如果考虑$w_n^k(0\le k<n)$，其的$n$次方也是$1$，因为$(w_n^k{)}^n=(w_n^n{)}^k=1^k=1$，同时在复数意义下，这$n$个数也是两两不同的，所以我们如果代入这$n$个数，我们就可以在$\text{O}(n\lg n)$的时间内计算出IDFT，而且代码上和DFT差不多，因为只是最后多除了个$n$，同时把$w_n^k$换成了$w_n^{-k}$，因此也可以写在一起，传入参数在某几步上加个特判。
同时复数还有性质$w_n^{k+n/2}=w_n^k\times w_n^{n/2}$，而又容易由角度看出$w_n^{n/2}=-1$，所以$w_n^{k+n/2}=-w_n^k$。这个东西可以用来稍微改进下DFT，这样我们的计算量大概减少了一半左右，代码也是更容易写了。
不过，虽然说DFT在理论上是没有误差的，但是鉴于三角函数浮点数上计算有不小的误差，所以说如果多项式的系数向量都是整数的话，显然最后的系数向量也是整数，那么我们完全可以不在复数域下进行，而是在另一种同样具有群性质的数系下进行，比如说我们同样熟悉的模域下。而这就要在数论上进行讨论了，所以并不写，坑等以后再填……
好吧，最后再提一下，其实是有四种傅里叶变换的，分别对应着时域和频域上的离散和连续，其中如果两个域都是连续的，实质上就是傅里叶级数，也就是将一个函数展开成许多三角函数构成的无穷级数。再换句话说，就是用许多正（余）弦波的叠加去不断拟合某条给定的曲线。当然，你也可以用方波去拟合，这就涉及到快速沃尔什变换（FWT）了。