二分查找（Binary Search）

二分查找是一种重要的查找算法，适用于有序数组。它通过将数组分为两部分并与目标值进行比较，从而每次排除一半的元素，以减少查找范围。

二分查找算法的实现

二分查找可以使用递归或迭代两种方式实现。递归方式通过不断缩小查找范围，并在每次递归中更新左右边界来进行查找。迭代方式使用循环结构，通过不断调整左右边界来查找目标值。

以下是在Java中使用迭代方式实现二分查找的示例代码：

public class BinarySearch {
    public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;

        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);

            if (arr[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (arr[mid] < target) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }

        return -1; // 当目标值不存在于数组中时返回-1
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13};
        int target = 7;
        int index = binarySearch(arr, target);

        if (index != -1) {
            System.out.println("目标值 " + target + " 在数组中的索引位置为 " + index);
        } else {
            System.out.println("目标值 " + target + " 不存在于数组中");
        }
    }
}

处理重复元素的变形问题

对于存在重复元素的情况，可以进行变形处理。一种简单的方法是找到目标值后，向左侧线性查找，直到找到相应的位置。另一种方法是在找到目标值时继续递归查找，根据要求进行进一步处理。

注意事项和优化技巧

在实现二分查找时，要注意边界条件和细节处理。例如，确保边界不会溢出，并注意移位运算符的优先级，可以使用括号来明确运算顺序。另外，在Java语言中，可以使用移位运算来提高效率，替代除法操作。

分治算法的应用

二分查找是分治算法的经典应用之一，通过分割问题为更小的子问题并合并子问题的解，从而解决复杂的查找问题。

其他查找算法

除了二分查找，还有其他常见的查找算法，如插值查找、斐波那契查找和分块查找，它们本质上都是对二分查找的优化和拓展。

小作业

当重复的数量特别大时，我们可以进一步优化内层的循环，利用二分查找的方式进行递归。

以下是对于重复元素数量较大时的优化后代码示例：

public class BinarySearch {
    public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
        return binarySearch(arr, target, 0, arr.length - 1);
    }

    private static int binarySearch(int[] arr, int target, int low, int high) {
        if (low > high) {
            return -1;
        }

        int mid = low + ((high - low) >> 1);

        if (arr[mid] == target) {
            // 在找到目标值后，根据要求继续递归寻找
            int leftIndex = binarySearch(arr, target, low, mid - 1);
            if (leftIndex != -1) {
                return leftIndex;
            }

            return mid;
        } else if (arr[mid] < target) {
            return binarySearch(arr, target, mid + 1, high);
        } else {
            return binarySearch(arr, target, low, mid - 1);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 11, 13};
        int target = 7;
        int index = binarySearch(arr, target);

        if (index != -1) {
            System.out.println("目标值 " + target + " 在数组中的索引位置为 " + index);
        } else {
            System.out.println("目标值 " + target + " 不存在于数组中");
        }
    }
}

在这个优化后的代码中，我们将二分查找的逻辑封装在了一个私有方法 binarySearch 中，并传入了额外的参数 low 和 high 表示当前查找的范围。

当找到目标值时，我们在左侧继续递归查找目标值，直到无法找到更左侧的目标值。最后返回的索引位置为最左侧的目标值索引。

这种优化后的二分查找算法可以应对重复元素数量特别大的情况，通过递归在找到目标值后继续查找，可准确找到重复元素的最左侧位置。