P10287 [GESP样题 七级] 最长不下降子序列 题解

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题目描述

小杨有个包含 $n$ 个节点 $m$ 条边的有向无环图，其中节点的编号为 $1$ 到 $n$。

对于编号为 $i$ 的节点，其权值为 $w_i$。对于图中的一条路径，根据路径上的经过节点的先后顺序可以得到一个节点权值的序列，小杨想知道图中所有可能序列中最长不下降子序列的最大长度。

注：给定一个序列 $S$，其最长不下降子序列 $S^{\prime }$ 是原序列中的如下子序列：整个子序列 $S^{\prime }$ 单调不降，并且是序列中最长的单调不降子序列。例如，给定序列 $S=[11,12,13,9,8,17,19]$，其最长不下降子序列为 $S^{\prime }=[11,12,13,17,19]$，长度为 $5$。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，表示节点数和边数。

第二行包含 $n$个正整数 $A_1,A_2,\dots A_n$，表示节点 $1$ 到 $n$ 的点权。

之后 $m$ 行每行包含两个正整数 $u_i,v_i$，表示第 $i$ 条边连接节点 $u_i$ 和 $v_i$，方向为从 $u_i$ 到 $v_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

5 4
2 10 6 3 1
5 2
2 3
3 1
1 4

样例输出 #1

3

样例 #2

样例输入 #2

6 11
1 1 2 1 1 2
3 2
3 1
5 3
4 2
2 6
3 6
1 6
4 6
1 2
5 1
5 4

样例输出 #2

4

样例 #3

样例输入 #3

6 11
5 9 10 5 1 6
5 4
5 2
4 2
3 1
5 3
6 1
4 1
4 3
5 1
2 3
2 1

样例输出 #3

4

提示

数据规模与约定

对全部的测试数据，保证 $1\le n\le 10^5$，$1\le m\le 10^5$，$1\le A_i\le 10$。

解题思路

提示：这是一道对初学者来说比较有难度的图上 dp，不理解的话可以在草稿纸上模拟一下，这样会更易懂一些。

看到题目，肯定是图论+dp的题。看到“路径上的经过节点的先后顺序”这句话，就知道要用拓扑排序。

然后，根据拓扑序，对每条边进行动态规划。但直接设 $f[i]$ 表示以 $i$ 结尾的 LIS 长度，每遇到一条边就更新一次。这样时间复杂度是$O(nm)$ 的，会超时。

然后观察题目的“弱点”：$1\le A[i]\le 10$，这么小？于是，第二种 LIS 思路来了：设 $f[i][j]$ 表示从某处到点 $i$，结尾数为 $j$ 的LIS长度。

然后转移来了（重点）：对于 $v$ 的某个前驱节点 $u$：

1. 将点 $v$ 加到点 $u$ 的 LIS 后面。 f [ v ] [ A [ i ] ] = m a x { f [ u ] [ i ] + 1 , f [ v ] [ A [ i ] ] } f[v][A[i]]=max\{f[u][i]+1, f[v][A[i]]\} f[v][A[i]]=max{f[u][i]+1,f[v][A[i]]}，其中 $1\le i\le A[u]$
2. 用 $u$ 替换点 $v$，也可能得到更优的答案。 f [ v ] [ i ] = m a x { f [ u ] [ i ] , f [ v ] [ i ] } f[v][i]=max\{f[u][i], f[v][i]\} f[v][i]=max{f[u][i],f[v][i]}，其中 $1\le i\le 10$。

最后答案：所有 $f[i][j]$ 的最大值。保证 $1\le i\le n,1\le j\le 10$。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 7;

int n, m, A[maxn], ind[maxn]; // ind[i]表示节点i的入度
int f[maxn][15];
vector <int> G[maxn]; // 存图

void solve()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> A[i];
	for(int u, v, i = 1; i <= m; i ++){
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v);
		++ ind[v]; // 入度+1
	}
	
	queue <int> Q; // 拓扑排序的队列
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(ind[i] == 0) Q.push(i);
		f[i][A[i]] = 1; // 初始化：到点i以A[i]结尾的LIS长度为1（就是点i自己）
	}
	while(!Q.empty()){
		int u = Q.front(); Q.pop();
		for(int v : G[u]){
			-- ind[v];
			if(ind[v] == 0){
				Q.push(v); // 入度变为0，入队
			}
			// dp转移
			for(int i = 1; i <= A[v]; i ++){
				f[v][A[v]] = max(f[u][i] + 1, f[v][A[v]]);
			}
			for(int i = 1; i <= 10; i ++){
				f[v][i] = max(f[u][i], f[v][i]);
			}
		}
	}
	
	// 求所有答案的最大值
	int maxn = -1e9;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		for(int j = 1; j <= 10; j ++) maxn = max(maxn, f[i][j]);
	}
	cout << maxn << '\n';
}

signed main()
{
	ios :: sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	solve();
	return 0;
}

End

感谢大家的观看！祝大家 AC！

这里是 YLCHUP，拜拜ヾ(•ω•`)o

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