37. 解数独

37. 解数独

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的3x3宫内只能出现一次。（请参考示例图）
   数独部分空格内已填入了数字，空白格用'.'表示。

示例 1：

输入：board =
[[“5”,“3”,“.”,“.”,“7”,“.”,“.”,“.”,“.”],[“6”,“.”,“.”,“1”,“9”,“5”,“.”,“.”,“.”],[“.”,“9”,“8”,“.”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”],[“8”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“3”],[“4”,“.”,“.”,“8”,“.”,“3”,“.”,“.”,“1”],[“7”,“.”,“.”,“.”,“2”,“.”,“.”,“.”,“6”],[“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“.”,“2”,“8”,“.”],[“.”,“.”,“.”,“4”,“1”,“9”,“.”,“.”,“5”],[“.”,“.”,“.”,“.”,“8”,“.”,“.”,“7”,“9”]]
输出：[[“5”,“3”,“4”,“6”,“7”,“8”,“9”,“1”,“2”],[“6”,“7”,“2”,“1”,“9”,“5”,“3”,“4”,“8”],[“1”,“9”,“8”,“3”,“4”,“2”,“5”,“6”,“7”],[“8”,“5”,“9”,“7”,“6”,“1”,“4”,“2”,“3”],[“4”,“2”,“6”,“8”,“5”,“3”,“7”,“9”,“1”],[“7”,“1”,“3”,“9”,“2”,“4”,“8”,“5”,“6”],[“9”,“6”,“1”,“5”,“3”,“7”,“2”,“8”,“4”],[“2”,“8”,“7”,“4”,“1”,“9”,“6”,“3”,“5”],[“3”,“4”,“5”,“2”,“8”,“6”,“1”,“7”,“9”]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位数字或者 ‘.’
• 题目数据 保证 输入数独仅有一个解

思路

棋盘搜索问题可以使用回溯法暴力搜索，只不过这次我们要做的是二维递归。

怎么做二维递归呢？

大家已经跟着「代码随想录」刷过了如下回溯法题目，例如：77.组合（组合问题） ，131.分割回文串（分割问题），78.子集（子集问题），46.全排列（排列问题） ，以及51.N皇后（N皇后问题），其实这些题目都是一维递归。

如果以上这几道题目没有做过的话，不建议上来就做这道题哈！

N皇后问题 是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。

本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

回溯三部曲

1.递归函数以及参数
递归函数的返回值需要是bool类型，为什么呢？

因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

代码如下：

func backtracking(board [][]byte) bool{}

2.递归终止条件
本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

不用终止条件会不会死循环？

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！

那么有没有永远填不满的情况呢？

这个问题我在递归单层搜索逻辑里再来讲！

3.递归单层搜索逻辑

在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归 （一行一列）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放'1'~'9' 9个字符的可能性！

代码如下：（详细看注释）

func backtracking(board [][]byte) bool{
    for row := 0;row < len(board);row++{  // 遍历行
        for col := 0;col < len(board[0]);col++ { // 遍历列
            // 当前位置不是空白，说明已经存在数字字符，则跳过它
            if board[row][col] != '.' {
                continue
            }
            // 当前位置尝试放入['1'~'9']，注意是填入数字对应的字符
            for c := '1';c <= '9';c++ {
                if !isValid(board,row,col,byte(c)) {
                    continue
                }
                board[row][col] = byte(c)  // 放置c
                if backtracking(board) {
                    return true // 如果找到合适一组立刻返回
                }
                board[row][col] = '.' // 回溯，撤销c
            }
            // 当前位置放完['1'~'9']，不管放啥，往后递归都找不到最终合法的数独解，则返回false
            return false
        }
    }

    // 上面两个外层for跑完了才能到这行
    // 表示所有位置都遍历完了都没有返回false
    // 说明当前就是一个有效的数独解，返回true
    return true
}

注意这里return false的地方，这里放return false 是有讲究的。

因为如果当前需要填充的所在行和所在列位置确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！

那么会直接返回， 这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！

判断棋盘是否合法

判断棋盘是否合法有如下三个维度：

1. 同行是否重复
2. 同列是否重复
3. 9宫格里是否重复

代码如下：

func isValid(board [][]byte,row,col int,c byte) bool {
    // 同行不能有相同元素，因为后面的数字可能题目给的矩阵就填好了，所以是遍历到矩阵某尾
    // 而不是遍历到col,那样值考虑了同行col之前的字符是否与c重复，没有考虑col之后的字符了
    for j := 0;j < 9;j++{
        if board[row][j] == c {
            return false
        }
    }
    
    // 同列不能有相同元素
    for i := 0;i < 9;i++{
        if board[i][col] == c {
            return false
        }
    }

    // 当前位置所处的3*3矩阵内不能有重复元素
    // 当前元素所在3*3矩阵的起点
    startRow := (row / 3) * 3
    startCol := (col / 3) * 3
    for i := startRow;i < startRow + 3;i++ {
        for j := startCol;j < startCol + 3;j++ {
            if board[i][j] == c {
                return false
            }
        }
    }

    return true
}

最后整体Go代码如下：

func solveSudoku(board [][]byte)  {
    // 遍历整个board每个位置，在每个空白处从['1'~'9'] 9个字符选一个符合条件的数字放入
    backtracking(board)
}

func backtracking(board [][]byte) bool{
    
    for row := 0;row < len(board);row++{
        for col := 0;col < len(board[0]);col++ {
            // 当前位置不是空白，说明已经存在数字字符，则跳过它
            if board[row][col] != '.' {
                continue
            }
            // 当前位置尝试放入['1'~'9']，注意是填入数字对应的字符
            for c := '1';c <= '9';c++ {
                if !isValid(board,row,col,byte(c)) {
                    continue
                }
                board[row][col] = byte(c)
                if backtracking(board) {
                    return true
                }
                board[row][col] = '.'
            }
            // 当前位置放完['1'~'9']，不管放啥，往后递归都找不到最终合法的数独解，则返回false
            return false
        }
    }

    // 上面两个外层for跑完了才能到这行
    // 表示所有位置都遍历完了，说明当前就是一个有效的数独解，返回true
    return true
}

func isValid(board [][]byte,row,col int,c byte) bool {
    // 同行不能有相同元素，因为后面的数字可能题目给的矩阵就填好了，所以是遍历到矩阵某尾
    // 而不是遍历到col,那样值考虑了同行col之前的字符是否与c重复，没有考虑col之后的字符了
    for j := 0;j < 9;j++{
        if board[row][j] == c {
            return false
        }
    }
    
    // 同列不能有相同元素
    for i := 0;i < 9;i++{
        if board[i][col] == c {
            return false
        }
    }

    // 当前位置所处的3*3矩阵内不能有重复元素
    // 当前元素所在3*3矩阵的起点
    startRow := (row / 3) * 3
    startCol := (col / 3) * 3
    for i := startRow;i < startRow + 3;i++ {
        for j := startCol;j < startCol + 3;j++ {
            if board[i][j] == c {
                return false
            }
        }
    }

    return true
}

总结

解数独可以说是非常难的题目了，如果还一直停留在单层递归的逻辑中，这道题目可以让大家瞬间崩溃。

所以我在开篇就提到了二维递归，希望可以帮助大家理解解数独的搜索过程。

总结二维递归的套路：遍历二维切片的每个位置，尝试将可选项中的每一项放入当前位置，递归下去，直到二维切片所有位置都遍历完成。代入本题就是：遍历整个二维切片board的每个位置，在每个空白处尝试从[‘1’~‘9’] 9个字符中选一个符合条件的字符填充，然后向下递归。

一波分析之后，再看代码会发现其实也不难，唯一难点就是理解二维递归的思维逻辑。

这样，解数独这么难的问题，也被我们攻克了。

恭喜一路上坚持打卡的录友们，回溯算法已经接近尾声了，接下来就是要一波总结了。