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对极几何（Epipolar Geometry）

e、e’: 极点，其中e为O’在左图像平面上的像，e’同理
l、l’： 极线
极平面：o、o’、P形成的平面
对极几何描述上述三个量之间的对应关系。
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从左图角度看，如果不知道p点的深度信息，射线op是这个点可能出现的空间位置，因为该射线上的点都会投影到同一个像素点，那么在不知道p点的具体位置的情况下，从在右图的位置看时，极线 l’ 就是点p可能出现的位置，即在这条线上的某个地方。
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相机成像平面从左边变到右边，只要旋转+平移就能实现。
即 x’=R(x-t)
如果下图中的三个向量是x,t,x’，那么，这三个向量的混合积为0，即：

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公式推导过程：

向量叉积计算为：

所以：

上式即为对极约束，描述了不同位置拍摄同一个点时，这两个点构成的约束。
E:本质矩阵（essential matrix）,等于t和R的叉积。对E进行分解即可得到两幅图像的位姿关系，当然前提是左右图像中的两个点要正确匹配！！！
注意：这里的左右两个点 x 和 x’ 分别为在相机坐标系下的归一化平面上的点，即 x = [x,y,1]，而不是像素平面上的点，因此需首先获得空间点在相机系中的坐标值，之后将其归一化到 z = 1的平面上，才能使用对极约束求解。
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注意！！！

前面说过对极约束中的点是相机系中归一化平面上的点，是三维的点，因此将其和本质矩阵相乘，将得到一个3行1列的向量，而由图可知左图中的点乘以这个向量结果为零，因此可以说点在这个向量构成的直线方程上，同样的

因此，本质矩阵和左像点坐标相乘后得到了一条直线，而该点在右图中的位置就处在这条直线上。本质矩阵和右像点相乘后也得到一条直线，该点在左图中的位置也处在这条直线上。
可以看到：本质矩阵将一个点映射到了一条线上，该点在另一幅图像中可能的位置就在这条线上。
即：

1.本质矩阵的求解

对极约束是一个等式为零的约束，因此对他乘以非零常数后依然成立，这称为本质矩阵的尺度等价性。另一方面，由于平移和旋转各有三个自由度，故 E 共有六个自由度，但由于尺度等价性，因此实际上 E 具有5个自由度。
即最少可用5对点来求解 E，但是这种解法比较麻烦。考虑 E 的尺度等价性，可以使用8对点来求解，即经典的八点法，八点法利用了 E 的线性性质，因此可以通过线性代数求解。

2.基础矩阵的求解

必须注意本质矩阵描述的是几何意义上的约束，他只是将左右相机内的物理坐标进行了约束。实际处理图像时，最直接得到的是某个点在图像中的像素坐标值，由于像素坐标和归一化坐标通过相机内参矩阵进行联系，因此可得


上图中 F 矩阵即为基础矩阵，他不光包含了旋转和平移的信息，还包含了相机的内参信息，使用的是像素坐标。

3.单应矩阵

单应是射影几何中的概念，又称为射影变换。他把一个射影平面上的点映射到另一个平面对应的位置，并且把直线映射为直线，具有保线性质。与对极几何不同的是，对极几何将点映射到线上，而单应矩阵是点对点的关系。要注意的是单应矩阵的适用场景为：当场景中的特征点都落在同一平面上，比如墙、地面等，此时可用单应性估计运动。其描述方程为：
x1=Hx2
其中矩阵 H 为一个3x3的非奇异矩阵，且对矩阵 H 乘以非零的常量依然成立

假设已经获得了两幅图像之间的单应矩阵，可得:

其中左边为图像1中的点，右边为图像2中的点。其具有很多应用，除了估计运动，还能对图像进行校正，比如斜着拍摄一栋楼，通过单应矩阵，可以生成一张看起来是正对着楼拍摄的照片。

上图表示场景中的平面π在两相机的成像，设平面π在第一个相机坐标系下的单位法向量为N，其到第一个相机中心（坐标原点）的距离为d，则平面π可表示为：

（？？？why?）
即：

x1、x2分别为点在两个相机坐标系下的坐标，根据前面的推导有：

将上面两式子结合可得

所以同一平面在两个相机坐标系下的单应性矩阵为：

还需要转换到同一平面在两个图像坐标系下的单应性矩阵为，设x1,x2为P在两图像的像点坐标，

其中K为相机的内参数，代入上面求得单应变换公式：

所以，同一平面得到的两个图像间的单应矩阵H为：

4.单应矩阵的求解

写成矩阵形式就是：

注解：如果给定一个单应H={h_ij}，给它的元素乘上同一个数a，得到的的单应a*H和H作用相同，因为新单应无非把齐次点x1变成了齐次点a*x1，都是一回事。因此我们可以把a换成1/h22，那么H就变成了只有8个自由元素的矩阵。



注意：以上做法只有当 h33 即最后一个元素不为零是才能得到正确的解！
以上可以看出，一对匹配点可以得到两项约束，于是自由度为8的单应矩阵可以通过4对匹配点进行求解。

总结
对极约束和单应性：
两幅图像之间的对极约束和场景的结构无关，即对于任意场景结构的图像都是成立的，他不能给出两幅图像上的点的一一对应关系，只能将点映射到线。而单应矩阵可以将点对应到点。
单应矩阵，不像对极约束那样完全不限制场景的结构，单应矩阵要求场景中的点都在同一平面上。
当相机只有旋转没有平移时，可使用单应矩阵估计运动，因为此时平移为0，计算得到的本质矩阵也为0，进而旋转也为0，得到了错误的解，而使用单应性依然能够正确计算。