在考研数学中，极限的局部保号性是极限理论中的一个基本性质。它表明，如果函数在某一点的极限是非零的，那么在该点附近，函数的符号不会发生变化。这个性质在研究函数的连续性、单调性及零点分布时起着重要作用。

定理

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L\ne 0$，则存在一个 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)$ 与 $L$ 具有相同的符号，即：

• 若 $L>0$，则 $f(x)>0$；
• 若 $L<0$，则 $f(x)<0$。

换句话说，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内不会变号。

方法一：基于 $ϵ-\delta$ 语言的标准证明

我们使用极限的 $ϵ-\delta$ 语言来证明这一结论。

证明

由于 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，根据极限的定义，对于任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有：

$$|f(x)-L|<ϵ$$

选取合适的 $ϵ$

为了确保 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近不变号，我们需要选择一个合适的 $ϵ$，使得 $f(x)$ 始终保持与 $L$ 相同的符号。令 $ϵ=\frac{|L|}{2}$，由于 $L\ne 0$，所以 $\frac{|L|}{2}>0$，根据极限定义，存在 $\delta >0$ 使得：

$$|f(x)-L|<\frac{|L|}{2},\text{当 }0<|x-x_0|<\delta$$

分析 $f(x)$ 的符号

由上述不等式可得：

$$-\frac{|L|}{2}<f(x)-L<\frac{|L|}{2}$$

两边加上 $L$，得到：

$$L-\frac{|L|}{2}<f(x)<L+\frac{|L|}{2}$$

即：

$$\frac{|L|}{2}<f(x)\text{（如果 }L>0\text{）}$$

$$f(x)<-\frac{|L|}{2}\text{（如果 }L<0\text{）}$$

这表明：

• 若 $L>0$，则 $f(x)>0$；
• 若 $L<0$，则 $f(x)<0$。

因此，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内不会变号，极限的局部保号性得证。

方法二：基于超实数的非标准分析证明

在非标准分析（超实数理论）中，我们可以使用超实数来更直观地理解极限的局部保号性。

证明

在非标准分析中，函数的极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$ 意味着：
对于任意无限小量 $ϵ$，当 $x=x_0+ϵ$ 时，$f(x)$ 必须是有限的，并且超接近 $L$，即：

$$f(x_0+ϵ)\approx L$$

这意味着 $f(x_0+ϵ)$ 与 $L$ 的差是一个无限小量，即：

$$f(x_0+ϵ)=L+\text{(某个无限小量)}$$

分析 $f(x_0+ϵ)$ 的符号

由于 $L\ne 0$，它是一个非零的有限实数。因此：

• 若 $L>0$，则 $L+\text{(某个无限小量)}$ 仍然是正数；
• 若 $L<0$，则 $L+\text{(某个无限小量)}$ 仍然是负数。

因此，在超实数框架下，$f(x_0+ϵ)$ 始终保持与 $L$ 相同的符号。根据转移原理（Transfer Principle），这意味着在标准分析的语言下，存在某个标准实数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)$ 的符号与 $L$ 相同。

通过标准分析的 $ϵ-\delta$ 方法和非标准分析的超实数方法，我们证明了极限的局部保号性：当 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L\ne 0$ 时，在点 $x_0$ 的某个邻域内，$f(x)$ 的符号不会发生变化。