暴力搜索——回溯

理论

回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案。一般可以解决如下几种问题：
组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等
组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。因此组合无序，排列有序。

例题

77. 组合
回溯就是递归，所以按照递归三部曲来做

参数：n，k固定参数，startIndex，从startindex开始往后取元素，path，存放一条支路的结果，re：存放所有支路的结果
返回值：因为要遍历整棵树，所以不需要返回值
终止条件：当到达终止条件时存放结果，也就是path里的元素数等于k
本层递归：从startindex开始往后选择，递归调用下一层，回溯。
for循环次数就是树的分支数，递归的深度就是树的深度。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    vector<int>path;
    void backtracking(int startIndex,int n,int k){
        if(path.size()==k){//到达叶子结点
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=startIndex;i<=n;i++){
            path.push_back(i);
            backtracking(i+1,n,k);//下一层就要从i+1开始选择了
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(1,n,k);
        return re;
    }
};

优化：
当startIndex开始往后的元素个数小于要找的个数，就不需要再找了。
即 n-i+1(还剩的个数) < k-path.size() (还要找的个数)
因此只需要从startIndex开始查找到n+1-k+path.size()

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    vector<int>path;
    void backtracking(int startIndex,int n,int k){
        if(path.size()==k){//到达叶子结点
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=startIndex;i<=n+1-k+path.size();i++){
            path.push_back(i);
            backtracking(i+1,n,k);
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(1,n,k);
        return re;
    }
};

216. 组合总和 III

参数：n，k：找k个数并且和为n，startIndex：从startindex位置开始找
返回值：空
终止条件：如果要找和为负数的集合，直接返回
如果要找和0的集合并且当前已经找到了k个，保存结果
如果n为0或者path.size()==k，直接返回
本层递归：从startindex开始往后取，递归，回溯

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void backtracking(int k,int n,int startIndex){//找k个数，并且和为n的集合
        if(path.size()==k){//找够了k个数
            if(n==0){
                re.push_back(path);
            }
            return ;
        }
        for(int i=index;i<=9;i++){
            if(n-i<0){//当前位置往后的都比n大，自然也就没有必要再找了
                break;
            }
            path.push_back(i);
            f(k,n-i,i+1);//找从i+1开始，组成n-i的组合
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1);
        return re;
    }
};

17. 电话号码的字母组合
每一种组合中集合的个数就是digits的长度，从当前位置对于的字符串中找一个字母，然后再去找下一个位置的字母

参数：digits 固定参数,index：从index开始找
终止条件：当找到digits长度大小的集合时，就保存一下
本层递归：映射出当前位置的数字字符对于的字符串，然后穷举每一个可能。

class Solution {
public:
    string number [10]={"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};//数字字符串映射表
    vector<string>re;
    string path;
    void f(string & digits,int index){//从digits中的index位置开始找
        if(path.size()==digits.size()){
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        string cur=number[digits[index]-'0'];//index位置对应字符串，对于digits="23",index==0,cur就是"abc"
        for(int i=0;i<cur.size();i++){
            path.push_back(cur[i]);
            f(digits,index+1);
            path.pop_back();
        }
        
       
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if(digits==""){
            return re;
        }
        f(digits,0);
        return re;
    }
};

39. 组合总和

和选硬币问题完全一样

参数：candidates 固定参数，index：从index往后开始找和为rest的组合
终止条件：rest小于0，直接返回
rest等于0，保存结果
本层递归：从index往后选一个元素，然后去找减去index位置元素的组合

和上几个题的区别是本题元素可以重复选

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& candidates,int index,int rest){
        if(rest<0){//非法情况
            return ;
        }
        if(rest==0){
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=index;i<candidates.size();i++){
            path.push_back(candidates[i]);
            f(candidates,i,rest-candidates[i]);//从i开始，找和
            //为rest-candidates[i]的组合
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        f(candidates,0,target);
        return re;
    }
};

优化：先对candidates进行排序，如果rest-candidates[i]已经小于0了，后面就没有必要再尝试了

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& candidates,int index,int rest){
        if(rest<0){//非法情况
            return ;
        }
        if(rest==0){
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=index;i<candidates.size();i++){
            if(rest-candidates[i]<0){//剪枝
                break;
            }
            path.push_back(candidates[i]);
            f(candidates,i,rest-candidates[i]);//从i开始，找和
            //为rest-candidates[i]的组合
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        f(candidates,0,target);
        return re;
    }
};

40. 组合总和 II

本题难点在于如何去重，可以先排序，这样相同的元素肯定紧挨着，在每一层递归下设一个哈希表，用来标记有没有使用过这个元素，只有没有使用过的才去跑递归
因为candidates里可能有重复的元素，所以同一个组合里会有重复元素，但是不同的组合元素要不同，也就是同一树层去重
剪枝的操作和上一题一样。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& candidates,int index,int rest){//从index开始往后找和为rest的组合
        if(rest==0){
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        unordered_map<int,bool>visit;
        for(int i=index;i<candidates.size() && rest-candidates[i]>=0 ;i++){
            if(!visit[candidates[i]]){//去重，如果已经使用了candidates[i]元素就剪掉
                visit[candidates[i]]=true;
                path.push_back(candidates[i]);
                f(candidates,i+1,rest-candidates[i]);
                path.pop_back();
            }
            
        }
        
    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        f(candidates,0,target);
        return re;
    }
};

省空间的写法，因为已经排过序了，所以相同的元素肯定紧靠着，只要判断它和它的前一个元素是否相等（同一树层下）

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& candidates, int index, int rest) {//从index开始往后找和为rest的组合
        if (rest == 0) {
            re.push_back(path);
            return;
        }
        unordered_map<int, bool>visit;
        for (int i = index; i < candidates.size() && rest - candidates[i] >= 0; i++) {
            if (i > index && candidates[i] == candidates[i - 1]) {//i>index是保证在同一树层下
                continue;
            }
            path.push_back(candidates[i]);
            f(candidates, i + 1, rest - candidates[i]);
            path.pop_back();
        }

    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        f(candidates, 0, target);
        return re;
    }
};

131. 分割回文串

参数：s 固定参数，index：从index位置开始分割
终止条件：当index等于s的长度时保存结果
本层递归：要找从index开始的回文子串，i初始为index 表示从index位置开始分割，例如s=“aab”，index=0，i
开始等于0，就是a作为一个子串，然后去切割ab;如果i等于1,就是aa作为一个子串，然后去切割ab。注意要判断子串是否为回文串。

class Solution {
public:
    vector<string>path;
    vector<vector<string>>re;
    bool isPalindrome(const string& s){//判断是否为回文串
        int l=0;
        int r=s.size()-1;
        while(l<r){
            if(s[l++]!=s[r--]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    void f(string& s,int index){//找从index位置开始分割的子串
        if(index==s.size()){
        
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=index;i<s.size();i++){
            string substr=s.substr(index,i-index+1);//截取从index到i的子串
            if(isPalindrome(substr)){//只有substr是回文串才去跑递归
                path.push_back(substr);
                f(s,i+1);
                path.pop_back();
            }
        }
    }
    vector<vector<string>> partition(string s) {
        f(s,0);
        return re;
    }
};

93. 复原 IP 地址

类似于切割字符串，直接在原字符串上修改就好了

参数：s，startindex：从startindex位置开始找，pointNum:s中 . 的个数
终止位置：pointNum为3，判断startindex到结束的字符串是否合法
本层递归：也是先判断从startindex位置到i的字符串是否合法，若合法，在i+1位置插入 . ，然后找i+2开始字符串。

class Solution {
public:
    vector<string>re;
    bool isValid(string& s,int start,int end){//判断是否合法
        if(start>end){
            return false;
        }
        if(s[start]=='0'){
            if(start==end){
                return true;
            }
            else{
                return false;
            }
        }
       int num=0;
       for(int i=start;i<=end;i++){
           num=num*10+(s[i]-'0');
           if(num>255){//当前num已经超过255了，后续一定也大于255
               return false;
           }
       }
       return true;
    }
    void f(string s,int startIndex,int pointNum){
        if(pointNum==3){//已经添加了3个点了，只需要判断startIndex到结束是否是合法的
            if(isValid(s,startIndex,s.size()-1)){
                re.push_back(s);
            }
            return ;
        }

        for(int i=startIndex;i<s.size();i++){
            if(isValid(s,startIndex,i)){//相当于在i后面加. 需要提前判断startindex到i是否是合法的
                s.insert(s.begin()+i+1,'.');//在i后面插入 . 
                pointNum++;
                f(s,i+2,pointNum);//因为插入了一个.  所以从i+2开始
                pointNum--;
                s.erase(s.begin()+i+1);
            }
             else {//不符合的话，后续一定也是不符合的，因为后续都包含这一部分。
                break;
            }
        }
    }
    vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
        f(s,0,0);
        return re;
    }
};

78. 子集

集合是无序的，也就是{1,2}和{2,1}是同一个集合，所以每次for循环都是从index开始，如果是排列的话，就要从0开始。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& nums,int index){
        re.push_back(path);//子集出现在递归过程中，不仅仅只是终止情况
        if(index==nums.size()){
            return ;
        }
        for(int i=index;i<nums.size();i++){
            path.push_back(nums[i]);
            f(nums,i+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        f(nums,0);
        return re;
    }
};

90. 子集 II

和组合中II类似，都是同一层去重

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    vector<int>path;
    void f(vector<int>& nums,int index){
        re.push_back(path);
        if(index==nums.size()){
            return ;
        }
        for(int i=index;i<nums.size();i++){
            if(i>index &&nums[i]==nums[i-1]){//同一层去重
                continue;
            }
                path.push_back(nums[i]);
                f(nums,i+1);
                path.pop_back();
          
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());
        f(nums,0);
        return re;
    }
};

491. 递增子序列

需要注意的是递增子序列至少2个元素。
去重逻辑和上一个一样了，因为相同的不一定是紧挨着的，所以采用set去重。

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& nums, int index) {
        if (path.size() > 1) {
            re.push_back(path);
        }
        if (index == nums.size()) {
            return;
        }
        unordered_set<int> uset;
        for (int i = index; i < nums.size(); i++) {
            if (uset.find(nums[i]) == uset.end()) {//本层第一次出现
                uset.insert(nums[i]);//标记使用
                if (path.size() > 0) {//path不为空要判断是否递增
                    int lastNum = path.back();//path最后一个元素
                    if (nums[i] >= lastNum) {
                        path.push_back(nums[i]);
                        f(nums, i + 1);
                        path.pop_back();
                    }
                }
                else {//path为空的时直接放

                    path.push_back(nums[i]);
                    f(nums, i + 1);
                    path.pop_back();
                }
            }

        }
    }
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {

        f(nums, 0);
        return re;
    }
};

优化：用数组做哈希表

class Solution {
public:
    vector<int>path;
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& nums, int index) {
        if (path.size() > 1) {
            re.push_back(path);
        }
        if (index == nums.size()) {
            return;
        }
        //unordered_set<int> uset;
        int used[201]={0};//0表示为使用过，1表示使用过
        for (int i = index; i < nums.size(); i++) {
            if (used[nums[i]+100]==0) {//本层第一次出现
                used[nums[i]+100]=1;//标记使用
                if (path.size() > 0) {//path不为空要判断是否递增
                    int lastNum = path.back();//path最后一个元素
                    if (nums[i] >= lastNum) {
                        path.push_back(nums[i]);
                        f(nums, i + 1);
                        path.pop_back();
                    }
                }
                else {//path为空的时直接放

                    path.push_back(nums[i]);
                    f(nums, i + 1);
                    path.pop_back();
                }
            }

        }
    }
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {

        f(nums, 0);
        return re;
    }
};

46. 全排列

注意排列和组合的区别：排列有顺序，组合无顺序

排列问题可以不需要index，但需要借助used数组
这个去重是同一树枝下去重，也就是在同一条支路下，一个元素只能选择一次。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    vector<int>path;
    
    void f(vector<int>& nums,vector<int>& used){
        if(path.size()==nums.size()){
            re.push_back(path);
            return ;
        }
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            if(used[i]==0){//只选择本树枝下没有用过的
                used[i]=1;
                path.push_back(nums[i]);
                f(nums,used);
                path.pop_back();
                used[i]=0;
            }
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<int>used(nums.size());
        f(nums,used);
        return re;
    }
};

解2 ：交换实现
如果一个集合有3个元素，那么它的排列方式有6种，第一个位置3种选择，第二个位置2种选择，第三个位置1种选择，相乘起来就是6种选择。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    void f(vector<int>& nums,int index){//从index开始的排列
        if(index==nums.size()){
            re.push_back(nums);
            return ;
        }
        for(int i=index;i<nums.size();i++){//从index开始往后的元素都可以放在index位置，相当于在index位置选一个元素
            swap(nums[index],nums[i])
            f(nums,index+1);//找index+1的全排列
            swap(nums[index],nums[i]);
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        f(nums,0);
        return re;
    }
};

47. 全排列 II

只需要去重就好了

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>re;
    vector<int>path;
    void f(vector<int>& nums,int index){
        if(index==nums.size()){
            re.push_back(nums);
            return ;
        }
        //unordered_set<int>uset;
        int visit[21]={0};
        for(int i=index;i<nums.size();i++){
            if(visit[nums[i]+10]==0){
                visit[nums[i]+10]=1;
                swap(nums[index],nums[i]);
                f(nums,index+1);
                swap(nums[index],nums[i]);
            }
        }
    }
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        f(nums,0);
        return re;
    }
};

332. 重新安排行程

参数：vectorre;
nordered_map<string,map<string,int>>targets;//unordered_map<开始地,map<目的地,航班数（0：表示不能再飞往此地了）>>targets targets表示从开始地到目的地所有航班的映射
vector<vector>& tickets
返回值：bool，找到一个解法就返回
终止条件：re.size()==tickets.size()+1，n趟航班就n+1个目的地。
本层递归：
优先考虑目的地字典序靠前的航班，可以选择的条件是：本航班还有机票——target.second>0

-为什么第一次找到的解法就是字典序靠前的解法？
map默认是按字典序进行排序的，所以如果有多种解法，会先尝试字典序小的。

class Solution {
public:
    vector<string>re;
    unordered_map<string,map<string,int>>targets;//unordered_map<开始地,map<目的地,航班数（0：表示不能再飞往此地了）>>targets  targets表示从开始地到目的地所有航班的映射
    bool f(vector<vector<string>>& tickets){
        if(re.size()==tickets.size()+1){
            return true;
        }
        string curPlace=re[re.size()-1];//从curPlace出发
        for(pair<const string,int>&target:targets[curPlace]){//从curPlace出发的所有目的地
            if(target.second>0){//表示从curPlace还可以飞的航班
                target.second--;
                re.push_back(target.first);
                if(f(tickets)){//找到了一个就返回，因为map默认是按字典序排的，所以第一个找到的一定是符合要求的
                    return true;
                }
                re.pop_back();
                target.second++;
            }
        }

        return false;
    }
    vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {
        for(int i=0;i<tickets.size();i++){
            vector<string>curFlight=tickets[i];//<开始地，目的地>
            targets[curFlight[0]][curFlight[1]]++;//增加映射关系
        }
        re.push_back("JFK");
        f(tickets);
        return re;
    }
};

51. N 皇后

思路：一行一行的摆，只需要判断是否共列共斜线就好了
共斜线的简便判法：abs(row1 - row2) == abs(col1,col2) (row1,col1)和(row2,col2)共斜线

参数：vector<vector>re存结果；vectorpath;//每一行摆皇后的情况；ectorrecord;//记录每一行皇后摆的位置 record[i]=j:表示i行j列放皇后；string ss;//固定参数，哪一列上放皇后，就将相应位置修改为Q；
终止位置：index==n表示已经摆完了n行皇后(0-n-1)
本层递归：从本行的第一列到第n列尝试，如果当前位置合法，就记录下皇后的位置，然后递归跑下一行。

class Solution {
public:
    vector<vector<string>>re;
    vector<string>path;//每一行摆皇后的情况
    vector<int>record;//记录每一行皇后摆的位置 record[i]=j:表示i行j列放皇后
    bool isValid(int i, int j, int n) {//判断i行j列放皇后合不合法
        for (int row = 0; row < i; row++) {
            if (record[row] == j || abs(row - i) == abs(record[row] - j)) {//共列 共斜线
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    void f(int index, int n, string ss) {
        if (index == n) {
            re.push_back(path);
            return;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (isValid(index, j, n)) {
                record[index] = j;
                string cur = ss;
                cur[j] = 'Q';
                path.push_back(cur);
                f(index + 1, n, ss);
                path.pop_back();
            }
        }
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        string ss;//固定参数，哪一列上放皇后，就将相应位置修改为Q
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ss += '.';
        }
        record.resize(n);
        f(0, n, ss);
        return re;

    }
};

37. 解数独
和N皇后类似，但比N皇后更复杂，N皇后每行只放一个皇后，而本题是要填满整个方格。
N皇后是一行一行的填，本题要一格一格的填，因此至少需要两层for循环

参数：board
返回值：找到一个方案就返回，题目也说了只有一种方案。
终止条件：不需要写，表格填满了自然就终止
本层递归：从0行0列到8行8列，找到第一个空白的格子，然后尝试1~9的数字，若合法，继续放下一个格子。

class Solution {
public:
    bool isValid(int i,int j,char val,vector<vector<char>>& board){//判断(i,j)填k是否合法，此时i行j列位置是空的
        for(int col=0;col<9;col++){//判断同行
            if(board[i][col]==val){
                return false;
            }
        }
        for(int row=0;row<9;row++){//判断同列
            if(board[row][j]==val){
                return false;
            }
        }
        int startRow=i/3*3;//(i,j)所在的3*3
        int startCol=j/3*3;
        for(int row=startRow;row<startRow+3;row++){//判断同3*3
            for(int col=startCol;col<startCol+3;col++){
                if(board[row][col]==val){
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
    bool f(vector<vector<char>>& board){
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(board[i][j]!='.'){
                    continue;
                }
                for(char k='1';k<='9';k++){//从1~9尝试
                    if(isValid(i,j,k,board)){
                        board[i][j]=k;
                        if(f(board)){//找到一个方案就返回
                            return true;
                        }
                        board[i][j]='.';

                    }
                }
                return false;//1到9都不行，说明该方案没有解
            }
        }
        return true;//所有的格都填满了
    }
    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        f(board);
        
    }
};

总结

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯，所以回溯法也经常和二叉树遍历，深度优先搜索混在一起，因为这两种方式都是用了递归。回溯法就是暴力搜索，并不是什么高效的算法，最多再剪枝一下。

组合问题
组合无顺序
for循环代表树的分支，横向遍历，递归深度代表树的高度，纵向遍历，回溯不断调整结果集
切割问题
类似与组合问题，参数的index就代表切割线
子集问题
子集问题也属于组合，不仅仅在终止收集结果
排列问题
排列有顺序
可以用交换的方式，也可以加一个used数组
去重问题
同一树层去重，只需要在函数内部创建一个visit数组，只供本层使用
这个visit数组也可以是set，如果题目中没有明确规定结点的范围，就要使用set了
安排行程问题
有递归的地方就有回溯，深度优先搜索也是用递归来实现的，所以往往伴随着回溯。
本题难在如何选择正确的容器
棋盘问题
一层for循环的递归：N皇后，一行只放一个
二层for循环的递归：解数独，一格放一个
这两道题目的树的分支都是固定的，N皇后的分支固定为n，每行就有n个位置可以选择
解数独的分支固定为9，从1到9选择一个数来填
但是解数独的递归深度明显大于N皇后。

暴力搜索——回溯

理论

例题

总结

悦读