积分的线性性质

flyfish

积分的线性性质主要有两个方面：

1. 积分对常数的乘法是线性的(常数因子的提取) ：
   如果 $f(x)$ 是一个可积函数，且 $c$ 是一个常数，那么
   $${\int }_a^{b}c\cdot f(x)dx=c\cdot {\int }_a^{b}f(x)dx$$

2. 积分对函数的加法是线性的 ：
   如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个可积函数，那么
   $${\int }_a^b\left(f(x)+g(x)\right)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$$
   结合起来(线性组合)，我们可以说积分具有线性性质，即对于任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，以及可积函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，有：
   $${\int }_a^b\left(c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\right)dx=c_1{\int }_a^{b}f(x)dx+c_2{\int }_a^{b}g(x)dx$$

为什么是这样？

可以从积分的几何解释来看。定积分的几何意义是求函数图像与 ( y ) 轴之间的面积。对于常数 ( c )，在区间 ([a, b]) 上，其图像是一个高度为 ( c ) 的水平线，宽度为 ( b - a )。
给定一个常数 c，我们要计算它在区间 [𝑎,𝑏]上的定积分：
$${\int }_a^{b}cdy$$
对于常数 ( c )，在区间 ([a, b]) 上的定积分可以通过乘以区间长度来计算：
$${\int }_a^{b}c,dy=c(b-a)$$
矩形的面积公式是“宽度乘以高度”，因此对于常数 ( c )，在区间 ([a, b]) 上的定积分实际上是求这个矩形的面积：

$${\int }_a^{b}cdy=\text{高度}\times \text{宽度}=c\times (b-a)$$
常数函数 $y=c$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分的几何意义。

1. 函数图像 ：蓝色的水平线表示常数函数 $y=c$。

2. 区间 $[a,b]$ ：红色的虚线表示 $x=a$，绿色的虚线表示 $x=b$。

3. 面积 ：淡蓝色的区域表示矩形的面积，这个区域的高度是 $c$，宽度是 $b-a$。

根据图中的标注，矩形的面积（即定积分的值）为：
$${\int }_a^{b}cdy=c\times (b-a)$$
​​

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the constant c and the interval [a, b]
c = 3
a = 2
b = 5

# Create an array of x values from a to b
x = np.linspace(a, b, 500)
y = np.full_like(x, c)

# Plot the function y = c
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label=f'y = {c}', color='blue')
plt.fill_between(x, y, color='lightblue', alpha=0.5)

# Add vertical lines to represent the boundaries a and b
plt.axvline(x=a, color='red', linestyle='--', label=f'x = {a}')
plt.axvline(x=b, color='green', linestyle='--', label=f'x = {b}')

# Calculate the area of the rectangle
area = c * (b - a)

# Add text to the plot to show the area
plt.text((a+b)/2, c/2, f'Area = {c} * ({b} - {a}) = {area}', 
         horizontalalignment='center', verticalalignment='center', 
         fontsize=12, color='black', bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.8))

# Add labels and title
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Geometric Interpretation of Definite Integral of a Constant Function')
plt.legend(loc='upper right', bbox_to_anchor=(1.1, 1))
plt.grid(True)
plt.show()

对于直线函数 $y=mx$，我们在区间 $[a,b]$ 上计算定积分。该函数形成的区域是一个三角形。三角形的面积公式为：
$$\text{面积}=\frac{1}{2}\times \text{底边}\times \text{高度}$$
在这种情况下：

• 底边 $=b-a$

• 高度 $=m\times b-m\times a=m(b-a)$
  因此，三角形的面积公式是：
  $${\int }_a^{b}mxdx=\frac{1}{2}\times (b-a)\times (m\times b-m\times a)=\frac{1}{2}\times (b-a)\times m(b-a)$$
  $${\int }_a^{b}mxdx=\frac{1}{2}\times m(b-a{)}^2$$这是通过积分直线函数 $y=mx$ 在区间 $[a,b]$ 上得到的。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Define the slope m and the interval [a, b]
m = 2
a = 2
b = 5

# Create an array of x values from a to b
x = np.linspace(a, b, 500)
y = m * x

# Plot the function y = mx
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label=f'y = {m}x', color='blue')
plt.fill_between(x, y, color='lightblue', alpha=0.5)

# Add vertical lines to represent the boundaries a and b
plt.axvline(x=a, color='red', linestyle='--', label=f'x = {a}')
plt.axvline(x=b, color='green', linestyle='--', label=f'x = {b}')

# Calculate the area of the triangle
area_triangle = 0.5 * (b - a) * (m * b - m * a)

# Add text to the plot to show the area
plt.text((a+b)/2, m*b/4, f'Area = 0.5 * ({b} - {a}) * ({m}*{b} - {m}*{a}) = {area_triangle}', 
         horizontalalignment='center', verticalalignment='center', 
         fontsize=12, color='black', bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.8))

# Add labels and title
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Geometric Interpretation of Definite Integral of a Linear Function')
plt.legend(loc='upper right', bbox_to_anchor=(1.1, 1))
plt.grid(True)
plt.show()

例子

假设我们有两个函数 $f(x)=x$ 和 $g(x)=x^2$，并且我们要计算在区间 $[0,1]$ 上的积分。

1. 首先，我们分别计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的积分：$${\int }_0^{1}xdx={\frac{x^2}{2}|}_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$$

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$$

2. 现在，我们计算 $2f(x)+3g(x)=2x+3x^2$ 的积分：$${\int }_0^1(2x+3x^2)dx={\int }_0^{1}2xdx+{\int }_0^{1}3x^{2}dx$$

根据线性性质，我们可以将积分拆开计算：
$${\int }_0^{1}2xdx=2{\int }_0^{1}xdx=2\cdot \frac{1}{2}=1$$

$${\int }_0^{1}3x^{2}dx=3{\int }_0^1{x}^{2}dx=3\cdot \frac{1}{3}=1$$

3. 最终结果是：
   $${\int }_0^1(2x+3x^2)dx=1+1=2$$

依据

微积分的基本定理包括两个部分：

1. 基本定理的第一部分 ：
   设 $f$ 是在闭区间 $[a,b]$上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，即 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 对于所有 $x$ 属于 $[a,b]$。那么：$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

2. 基本定理的第二部分 ：
   设 $f$ 是在开区间 $(a,b)$ 上的可积函数。如果定义函数 $g$ 为$$g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$
   则 $g$ 在 $(a,b)$ 上处处可导，且 $g^{\prime }(x)=f(x)$。

在我们的例子中，我们用到了基本定理的第一部分。具体过程如下：

1. 对于函数 $f(x)=x$，我们找到它的原函数 $F(x)=\frac{x^2}{2}$，然后应用基本定理：$${\int }_0^{1}xdx={\frac{x^2}{2}|}_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$$

2. 对于函数 $g(x)=x^2$，我们找到它的原函数 $G(x)=\frac{x^3}{3}$，然后应用基本定理：$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$$

3. 然后，我们利用积分的线性性质，将组合函数 $2x+3x^2$ 的积分拆开：$${\int }_0^1(2x+3x^2)dx={\int }_0^{1}2xdx+{\int }_0^{1}3x^{2}dx$$

并分别计算：
$${\int }_0^{1}2xdx=2{\int }_0^{1}xdx=2\cdot \frac{1}{2}=1$$

$${\int }_0^{1}3x^{2}dx=3{\int }_0^1{x}^{2}dx=3\cdot \frac{1}{3}=1$$

4. 最后，将结果相加：
   $${\int }_0^1(2x+3x^2)dx=1+1=2$$

二重积分表达式

$$V={\int }_0^2{\int }_0^1(8x+6y)dxdy$$

1. 对 $x$ 进行内积分 :
   $${\int }_0^1(8x+6y)dx$$
   首先，将 $6y$ 视为常数：
   $${\int }_0^{1}8xdx+{\int }_0^{1}6ydx$$
   计算 $8x$ 的积分:
   $$4x^2{|}_0^1=4(1{)}^2-4(0{)}^2=4$$
   计算 $6y$ 的积分（这里 $y$ 是常数）:
   $$6y{\int }_0^{1}dx=6y[x]{|}_0^1=6y(1-0)=6y$$结合上述结果：
   $${\int }_0^1(8x+6y)dx=4+6y$$

2. 对 $y$ 进行外积分 :
   $${\int }_0^2(4+6y)dy$$
   计算 $4$ 的积分:
   $$4y{|}_0^2=4(2)-4(0)=8$$
   计算 $6y$ 的积分:
   $$3y^2{|}_0^2=3(2{)}^2-3(0{)}^2=12$$结合上述结果：
   $${\int }_0^2(4+6y)dy=8+12=20$$