数学中的无穷小与物理学中的微元
flyfish
数学中的直线和物理中的线比较下就容易理解了
数学中的直线：
数学中的直线是一种理想化的抽象概念，具有无限延伸且没有厚度或宽度。
直线的定义不依赖于物理性质，仅依赖于几何性质。它是一个一维对象，只具有长度，没有宽度和高度。
物理世界中的线：
在物理世界中，任何实际存在的线（例如，一根细绳、一条光束）都具有一定的厚度或宽度。
即使是光，在某些情况下也表现出一定的宽度，尤其在波动光学中，光具有波长和干涉现象。
波动光学：在波动光学中，光被认为是一种波动现象，具有波长和频率，因此光束会展现出一定的宽度和衍射、干涉现象。
几何光学：在几何光学中，光被简化为光线，这些光线可以被认为是没有宽度的理想化线条，用于解释光的直线传播、反射和折射等现象。
古典的理解
1. 牛顿的流数法
牛顿在引入微积分时使用了流数（fluxions）和流率（fluxions rate）的概念，即变化中的量和其变化率。无穷小量在他的体系中被视为“无限小的变化量”，用来描述瞬时速度和加速度。然而，他并未给出严格的定义。
例子：导数的定义 牛顿定义函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x) 在点
x
x
x 处的导数为：
d
y
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
.
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.
dxdy=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x).在这个过程中，
Δ
x
\Delta x
Δx 是一个无穷小量。当
Δ
x
\Delta x
Δx趋于零时，牛顿认为可以忽略
Δ
x
\Delta x
Δx的高次项，如
(
Δ
x
)
2
(\Delta x)^2
(Δx)2，这在逻辑上是不严谨的。
2. 莱布尼茨的微分法
莱布尼茨引入了微分（differentials）符号，并使用无穷小量
d
x
dx
dx 和
d
y
dy
dy 表示微小变化量。他的符号系统非常直观，但同样缺乏严格的数学基础。例子：导数的计算 莱布尼茨表示函数
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x) 的导数为：
d
y
d
x
=
f
(
x
+
d
x
)
−
f
(
x
)
d
x
.
\frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}.
dxdy=dxf(x+dx)−f(x).在计算过程中，他将
d
x
dx
dx 视为一个非常小但不为零的量。这种处理方式虽然方便计算，但在逻辑上存在问题，因为无穷小量的具体性质不明确。
贝克莱主教对无穷小量的批评揭示了这种模糊性的根本问题。他指出，在计算导数时，数学家们一方面使用无穷小量进行计算，另一方面又在最终结果中将无穷小量视为零。
贝克莱的批评 贝克莱在他的书《分析学家》中写道：
Δ
y
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
2
−
x
2
Δ
x
=
x
2
+
2
x
Δ
x
+
(
Δ
x
)
2
−
x
2
Δ
x
=
2
x
+
Δ
x
.
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x.
ΔxΔy=Δx(x+Δx)2−x2=Δxx2+2xΔx+(Δx)2−x2=2x+Δx.他质疑为什么在最终的导数计算中，
Δ
x
\Delta x
Δx 被视为零，而在其他步骤中却不是零。这种自相矛盾的处理方式是无穷小量概念模糊性的体现。
古典的理解造就了物理学中的微元
古典微积分中无穷小量的表述是模糊的，无穷小量的具体性质没有明确的定义，使得它在计算中时而被视为零，时而被视为非零。在计算过程中，无穷小量的处理方式又不一致，导致逻辑上的矛盾。缺乏严谨的数学基础。
在微积分的理论基础尚不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一种神秘的“数”，它比零大，但又比任何正数小，这在当时是难以理解的。这种神秘的“数”被用来度量各种物理量，称为“微元”。微元法使用这些无限小的“微分”来表示具体的量，例如角度、线段、面积、体积，甚至是时间、位移和功。
通过微元法，积分被视为这些“无限小过程”的累积和，用这种思想可以快速地建立新量的积分表达式。例如，在计算一个物体的总质量时，可以将其分成无数个微小的部分，每个部分的质量用微元表示，然后对这些微元进行积分，从而得到整个物体的质量。
微元法之所以广泛应用，是因为它方便实用，简便快捷，可以快速地进行计算和建立公式。在微积分的理论基础严格建立起来之前，微元法提供了一种有效的工具来解决实际问题。
举几个例子
计算变密度杆的总质量
假设我们有一根长度为
L
=
10
L = 10
L=10 米的杆，其密度
ρ
\rho
ρ 随长度的变化而变化，密度分布函数为：
ρ
(
x
)
=
2
x
\rho(x) = 2x
ρ(x)=2x
其中，
x
x
x 是从杆的一端开始的长度位置（单位：米），
ρ
(
x
)
\rho(x)
ρ(x) 的单位是千克/米。
计算步骤：
-
将杆分成无数个微小部分 ：
每个微小部分的长度用 d x dx dx 表示。 -
计算每个微小部分的质量 ：
每个微小部分的质量 d m dm dm 可以表示为：
d m = ρ ( x ) ⋅ d x dm = \rho(x) \cdot dx dm=ρ(x)⋅dx -
对整个杆进行积分 ：
总质量 M M M 是对从 x = 0 x = 0 x=0 到 x = L x = L x=L 的所有微小部分的质量进行积分：
M = ∫ 0 L ρ ( x ) d x M = \int_{0}^{L} \rho(x) \, dx M=∫0Lρ(x)dx
将密度分布函数代入上式，我们得到：
M = ∫ 0 10 2 x d x M = \int_{0}^{10} 2x \, dx M=∫0102xdx
具体计算：
M = ∫ 0 10 2 x d x = 2 ∫ 0 10 x d x = 2 [ x 2 2 ] 0 10 = 2 ( 1 0 2 2 − 0 2 2 ) = 2 ( 100 2 ) = 2 × 50 = 100 千克 \begin{aligned} M &= \int_{0}^{10} 2x \, dx \\ &= 2 \int_{0}^{10} x \, dx \\ &= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{10} \\ &= 2 \left( \frac{10^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \\ &= 2 \left( \frac{100}{2} \right) \\ &= 2 \times 50 \\ &= 100 \text{ 千克} \end{aligned} M=∫0102xdx=2∫010xdx=2[2x2]010=2(2102−202)=2(2100)=2×50=100 千克
通过将杆分成无数个微小的部分，计算每个部分的质量并进行积分，我们得到了变密度杆的总质量为 100 千克。
计算圆盘的总质量
假设我们有一个半径为
R
=
3
R = 3
R=3 米的圆盘，密度随半径变化，密度分布函数为：
ρ
(
r
)
=
r
2
\rho(r) = r^2
ρ(r)=r2
其中
r
r
r 是从圆心到圆周的半径位置（单位：米），
ρ
(
r
)
\rho(r)
ρ(r) 的单位是千克/平方米。
计算步骤：
-
将圆盘分成无数个微小的环 ：
每个微小环的厚度用 d r dr dr 表示，微小环的面积为 d A = 2 π r d r dA = 2\pi r \, dr dA=2πrdr。 -
计算每个微小环的质量 ：
每个微小环的质量 d m dm dm 可以表示为：
d m = ρ ( r ) ⋅ d A = r 2 ⋅ 2 π r d r = 2 π r 3 d r dm = \rho(r) \cdot dA = r^2 \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi r^3 \, dr dm=ρ(r)⋅dA=r2⋅2πrdr=2πr3dr -
对整个圆盘进行积分 ：
总质量 M M M 是对从 r = 0 r = 0 r=0 到 r = R r = R r=R 的所有微小环的质量进行积分：
M = ∫ 0 R 2 π r 3 d r M = \int_{0}^{R} 2\pi r^3 \, dr M=∫0R2πr3dr
具体计算：
M
=
∫
0
3
2
π
r
3
d
r
=
2
π
∫
0
3
r
3
d
r
=
2
π
[
r
4
4
]
0
3
=
2
π
(
3
4
4
−
0
4
4
)
=
2
π
(
81
4
)
=
2
π
×
20.25
=
40.5
π
千克
\begin{aligned} M &= \int_{0}^{3} 2\pi r^3 \, dr \\ &= 2\pi \int_{0}^{3} r^3 \, dr \\ &= 2\pi \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{3} \\ &= 2\pi \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \\ &= 2\pi \left( \frac{81}{4} \right) \\ &= 2\pi \times 20.25 \\ &= 40.5\pi \text{ 千克} \end{aligned}
M=∫032πr3dr=2π∫03r3dr=2π[4r4]03=2π(434−404)=2π(481)=2π×20.25=40.5π 千克
通过将圆盘分成无数个微小的环，计算每个环的质量并进行积分，我们得到了变密度圆盘的总质量为
40.5
π
40.5\pi
40.5π 千克，即大约 127.23 千克（取
π
≈
3.14159
\pi \approx 3.14159
π≈3.14159）。
现代严格定义取代了模糊的概念，现代极限理论严格定义了无穷小量
随着微积分理论基础的严格建立，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现代严格定义的微分。现在的微分概念基于极限理论，确保了每一步计算的准确性和一致性。
尽管如此，在实际应用中，严格的数学叙述往往较为繁琐，因此，物理学家和工程师在使用微积分时，仍然常常采用过去的直观理解，把微元看作“无限小的过程”。这种方法在处理实际问题时非常有效，因为它简便直观，能够迅速得到结果。
1.极限理论的引入：柯西的解决方案
柯西通过引入极限理论，解决了无穷小量的模糊性问题。他给出了严格的极限定义，使得无穷小量的处理更加严谨。
柯西的极限定义 对于函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，当
x
x
x 趋近于
a
a
a 时，如果存在一个实数
L
L
L，使得对于任意的
ϵ
>
0
\epsilon > 0
ϵ>0，存在一个
δ
>
0
\delta > 0
δ>0，使得当
0
<
∣
x
−
a
∣
<
δ
0 < |x - a| < \delta
0<∣x−a∣<δ 时，有：
∣
f
(
x
)
−
L
∣
<
ϵ
,
|f(x) - L| < \epsilon,
∣f(x)−L∣<ϵ,
则称
L
L
L 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
x
x 趋近于
a
a
a 时的极限，记作：
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
.
\lim_{x \to a} f(x) = L.
x→alimf(x)=L.
2.魏尔施特拉斯（卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass） ）的定义
魏尔施特拉斯通过精确的
ϵ
\epsilon
ϵ-
δ
\delta
δ 语言，明确了极限的定义。他的定义如下：极限定义 ：设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是在点
a
a
a 的某个邻域上定义的函数。若对于任意的正数
ϵ
>
0
\epsilon > 0
ϵ>0，都存在一个正数
δ
>
0
\delta > 0
δ>0，使得当
0
<
∣
x
−
a
∣
<
δ
0 < |x - a| < \delta
0<∣x−a∣<δ 时，有
∣
f
(
x
)
−
L
∣
<
ϵ
,
|f(x) - L| < \epsilon,
∣f(x)−L∣<ϵ,
则称
L
L
L 是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 当
x
x
x 趋近于
a
a
a 时的极限，记作：
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
.
\lim_{x \to a} f(x) = L.
x→alimf(x)=L.
连续性的定义
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
a
a
a 处连续，如果
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
f
(
a
)
.
\lim_{x \to a} f(x) = f(a).
x→alimf(x)=f(a).
现代极限理论严格定义了无穷小量，使得它们的处理更加严谨和一致。
极限定义 ：设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是在点
a
a
a 的某个邻域上定义的函数。若对于任意的正数
ϵ
>
0
\epsilon > 0
ϵ>0，都存在一个正数
δ
>
0
\delta > 0
δ>0，使得当
0
<
∣
x
−
a
∣
<
δ
0 < |x - a| < \delta
0<∣x−a∣<δ 时，有
∣
f
(
x
)
−
L
∣
<
ϵ
,
|f(x) - L| < \epsilon,
∣f(x)−L∣<ϵ,
则称
L
L
L 是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 当
x
x
x 趋近于
a
a
a 时的极限，记作：
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
.
\lim_{x \to a} f(x) = L.
x→alimf(x)=L.
简单理解就是无穷小量是以0为极限的变量，可以以函数、序列等形式出现。