9.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

例子

假设有一个矩阵 A：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$
这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵，计算如下：
$$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$$
性质

矩阵转置具有以下性质：

• (A^T)T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
• (A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
• (kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
• (AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

• 对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。

  如：
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 1& 4\\ 3& 4& 1\end{array}\right)$$

• 反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

  如：
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ -1& 0& 4\\ -3& -4& 0\end{array}\right)$$

  $$A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -3\\ 1& 0& -4\\ 3& 4& 0\end{array}\right)=-A$$

  反对称矩阵：
  $$a_{ij}=-a_{ji}$$
  所以：
  $$a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0$$
  得出主对角线元素必须为零。

对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA

证明：

AB对称则
$$(AB{)}^T=AB$$
同时
$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$
由于A和B是对称矩阵，则
$$(AB{)}^T=B^T{A}^T=BA$$
所以
$$AB=BA$$
思考：

A为反对称矩阵，则A^k为？

证明：
$$(A^k{)}^T=(A\times A...\times A{)}^T=A^T\times A^T...\times A^T=(-A)\times (-A)...\times (-A)=(-1{)}^k{A}^k$$
如果k为偶数，则
$$(A^k{)}^T=A^k$$
此时A^k为对称矩阵

如果k为奇数，则
$$(A^k{)}^T=-A^k$$
此时A^k为反对称矩阵

10.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵
$$|A^T|=|A|$$

$$|kA|=k^n|A|$$

$$|-A|=(-1{)}^n|A|$$

$$|AB|=|A||B|$$

$$|A^m|=|A{|}^m$$

$$|E|=1$$

例子

1.有矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right)$$
求|2A|和|A|A

解：
$$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right|=3\times (-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 5\end{array}\right|=15$$
则
$$det(2A)=2^{3}det(A)=120$$

$$det(A)A=15A=15\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}15& 30& 0\\ 0& 45& 0\\ -15& 60& 75\end{array}\right)$$

2.A为n阶方阵，|A|=3，求
$$||A|A^T|=?$$
解：
$$||A|A^T|=|A{|}^n|A^T|=|A{|}^{n+1}=3^{n+1}$$

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：
$$(A^{\ast }{)}_{ij}=C^{ji}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ji}$$
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

例如：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$$
求A的伴随矩阵A*

解：

按行求出每个元素的代数余子式：
$$\begin{gathered} C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=1,C_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=-5,C_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1 \\ {C}_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0 \\ {C}_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1 \end{gathered}$$
然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：
$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -5& 3& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$
性质：
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$
证明：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+...+a_{1n}{C}_{1n}& 0& ...& 0\\ 0& a_{21}{C}_{21}+a_{22}{C}_{22}+...+a_{2n}{C}_{2n}& ...& 0\\ & ⋮& & \\ 0& 0& ...& a_{n1}{C}_{n1}+a_{n2}{C}_{n2}+...+a_{nn}{C}_{nn}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cccc}|A|& 0& ...& 0\\ 0& |A|& ...& 0\\ & ⋮& & \\ 0& 0& ...& |A|\end{array}\right)=|A|E \end{gathered}$$
性质2：
$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
证明：
$$|A{A}^{\ast }|=|A||A^{\ast }|=||A|E|=|A{|}^n|E|=|A{|}^n$$
所以
$$|A||A^{\ast }|=|A{|}^n=>|A|(|A{|}^{n-1}-|A^{\ast }|)=0$$
得出
$$|A|=0或|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以
$$|A^{\ast }|=0=0^{n-1}=|A{|}^{n-1}$$
所以等式成立。

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作
$$A^{-1}$$
逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：
$$\begin{gathered} A{B}_1=B_{1}A=E \\ A{B}_2=B_{2}A=E \end{gathered}$$
则：
$$B_1=B_{1}E=B_1(A{B}_2)=(B_{1}A)B_2=E{B}_2=B_2$$
所以可逆矩阵唯一。

性质：

1.n阶方阵A可逆的充要条件为
$$|A|\ne 0$$
且当A可逆时，
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
证明：

充分性：

因为
$$|A|\ne 0$$
则
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E=>A(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })=(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })A=E$$
所以A可逆，并且
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
必要性：

因为A可逆，则
$$AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1$$
所以
$$|A|\ne 0$$
例子：

有矩阵A：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right)$$
问矩阵A是否可逆，如果可逆，求可逆矩阵

解：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right|=-5+4+3=2\ne 0$$
所以A可逆
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& -1\\ 10& -2& 2\\ 7& -2& 1\end{array}\right)$$

2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为：
$$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$$

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

• 交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

  如：矩阵第二行和第三行交换
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 8& 9\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$

• 某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

  如：第二行乘以非零整数k
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4k& 5k& 6k\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

• 某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

  如：矩阵第一行乘以-4加到第二行
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

初等列变换

• 交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
• 某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
• 某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 5& 6\\ 0& 0& 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 6& 7\\ 0& 0& 0& 9\end{array}\right)$$
简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数

下边的矩阵不是行阶梯形矩阵

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
• 主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

即：

1.是行阶梯形矩阵；2.非0行的首非0元是1；3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0

红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵；蓝色圆圈表示首非0元是1；黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0

例子：

有矩阵A
$$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& 1& 2\\ 1& 1& -2& 1& 4\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)$$
求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵

解：

1.第1行和第2行交换，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 2& -1& -1& 1& 2\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)$$
2.第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-4加到第3行，第1行乘以-3加到第4行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& -10& 10& -6& -12\\ 0& 3& -3& 4& -3\end{array}\right)$$
3.第2行乘以-10/3加到第3行，第2行加到第4行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -\frac{8}{3}& 8\\ 0& 0& 0& 3& -9\end{array}\right)$$
4.第3三行乘以3/8，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -1& 3\\ 0& 0& 0& 3& -9\end{array}\right)$$
5.第3行乘以3加到第4行，得到一个阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
6.第三行乘以-1，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
7.第3行乘以-1加到第1行，第3行加到第2行
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 0& 7\\ 0& -3& 3& 0& -9\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
8.第2行乘以1/3加到第1行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& -3& 3& 0& -9\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
9.第2行乘以-1/3，得到一个行简化阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？

行阶梯形矩阵不是唯一的，上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵

如果只做初等行变换，行简化阶梯形矩阵是唯一的，因为不能再简化了