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【动态规划】【图论】【C++算法】1928规定时间内到达终点的最小花费

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本文涉及知识点

动态规划汇总

LeetCode1928. 规定时间内到达终点的最小花费

一个国家有 n 个城市，城市编号为 0 到 n - 1 ，题目保证 所有城市 都由双向道路 连接在一起 。道路由二维整数数组 edges 表示，其中 edges[i] = [xi, yi, timei] 表示城市 xi 和 yi 之间有一条双向道路，耗费时间为 timei 分钟。两个城市之间可能会有多条耗费时间不同的道路，但是不会有道路两头连接着同一座城市。
每次经过一个城市时，你需要付通行费。通行费用一个长度为 n 且下标从 0 开始的整数数组 passingFees 表示，其中 passingFees[j] 是你经过城市 j 需要支付的费用。
一开始，你在城市 0 ，你想要在 maxTime 分钟以内 （包含 maxTime 分钟）到达城市 n - 1 。旅行的 费用 为你经过的所有城市 通行费之和 （包括 起点和终点城市的通行费）。
给你 maxTime，edges 和 passingFees ，请你返回完成旅行的 最小费用 ，如果无法在 maxTime 分钟以内完成旅行，请你返回 -1 。
示例 1：
输入：maxTime = 30, edges = [[0,1,10],[1,2,10],[2,5,10],[0,3,1],[3,4,10],[4,5,15]], passingFees = [5,1,2,20,20,3]
输出：11
解释：最优路径为 0 -> 1 -> 2 -> 5 ，总共需要耗费 30 分钟，需要支付 11 的通行费。
示例 2：
输入：maxTime = 29, edges = [[0,1,10],[1,2,10],[2,5,10],[0,3,1],[3,4,10],[4,5,15]], passingFees = [5,1,2,20,20,3]
输出：48
解释：最优路径为 0 -> 3 -> 4 -> 5 ，总共需要耗费 26 分钟，需要支付 48 的通行费。
你不能选择路径 0 -> 1 -> 2 -> 5 ，因为这条路径耗费的时间太长。
示例 3：
输入：maxTime = 25, edges = [[0,1,10],[1,2,10],[2,5,10],[0,3,1],[3,4,10],[4,5,15]], passingFees = [5,1,2,20,20,3]
输出：-1
解释：无法在 25 分钟以内从城市 0 到达城市 5 。
提示：
1 <= maxTime <= 1000
n == passingFees.length
2 <= n <= 1000
n - 1 <= edges.length <= 1000
0 <= xi, yi <= n - 1
1 <= timei <= 1000
1 <= passingFees[j] <= 1000
图中两个节点之间可能有多条路径。
图中不含有自环。

动态规划

路径中不会有重复节点，否则去掉环，用时更少，过路费更少或不变。

动态规划的状态表示

dp[i][j] 表示 消耗j单位时间到达i城市的最小过路费。所有相同时间的状态全部更新完时间复杂度是O(m)，时间数是maxTime。故总时间复杂度是：O(m × \times ×maxTime),m是边数。

动态规划的转移方程

前置状态转移后置状态。
dp[i][j] 更 新 k 和 i 连接 \Large更新 _{k和i连接} 更新k和i连接​ dp[k][j+ik需要的时间] =min(,dp[i][j]+pass[k]

动态规划的初始值

dp[0][0]=第一个城市的过路费 其它状态全部为2e6。

动态规划的填表顺序

时间从0到大。

动态规划的返回值

dp.back()的最小值。

代码

class Solution {
public:
	int minCost(int maxTime, vector<vector<int>>& edges, vector<int>& passingFees) {
		m_c = passingFees.size();
		CNeiBo3 neiBo(m_c, edges,false);
		vector<vector<int>> dp(m_c, vector<int>(maxTime + 1, m_iNotMay));
		dp[0][0] = passingFees[0];
		for (int time = 0; time < maxTime; time++)
		{
			for (int pos = 0; pos < m_c; pos++)
			{
				for (const auto& [next,useTime] : neiBo.m_vNeiB[pos])
				{
					const int newTime = time + useTime;
					if (newTime <= maxTime)
					{
						const int newFees = dp[pos][time] + passingFees[next];
						if (newFees < dp[next][newTime])
						{
							dp[next][newTime] = newFees;
						}
					}
				}
			}
		}
		const int iMin = *std::min_element(dp.back().begin(), dp.back().end());
		return (iMin >= m_iNotMay) ? -1 : iMin;
	}
	int m_c;
	const int m_iNotMay = 2000'000;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	int maxTime;
	vector<vector<int>> edges;
	vector<int> passingFees;
	{
		Solution sln;
		maxTime = 30, edges = { {0,1,10},{1,2,10},{2,5,10},{0,3,1},{3,4,10},{4,5,15} }, passingFees = { 5,1,2,20,20,3 };
		auto res = sln.minCost(maxTime, edges, passingFees);
		Assert(res,11);
	}

	{
		Solution sln;
		maxTime = 29, edges = { {0,1,10},{1,2,10},{2,5,10},{0,3,1},{3,4,10},{4,5,15} }, passingFees = { 5,1,2,20,20,3 };
		auto res = sln.minCost(maxTime, edges, passingFees);
		Assert(res, 48);
	}

	{
		Solution sln;
		maxTime = 25, edges = { {0,1,10},{1,2,10},{2,5,10},{0,3,1},{3,4,10},{4,5,15} }, passingFees = { 5,1,2,20,20,3 };
		auto res = sln.minCost(maxTime, edges, passingFees);
		Assert(res, -1);
	}
}

2023年2月版

class Solution {
public:
int minCost(int maxTime, vector<vector>& edges, vector& passingFees) {
m_c = passingFees.size();
m_mDirectTime.resize(m_c);
for (const auto& v : edges)
{
if (v[2] > maxTime)
{
continue;
}
if (0 != m_mDirectTime[v[0]][v[1]] )
{
if (m_mDirectTime[v[0]][v[1]] < v[2])
{
continue;
}
}
m_mDirectTime[v[0]][v[1]] = v[2];
m_mDirectTime[v[1]][v[0]] = v[2];
}
dp.assign(maxTime+1, vector(m_c, m_iNotMay));
dp[0][0] = passingFees[0];
for (int iTime = 0; iTime <= maxTime; iTime++)
{
for (int iPos = 0; iPos < m_c; iPos++)
{
const int& iCurFees = dp[iTime][iPos];
if (m_iNotMay == iCurFees)
{
continue;
}
for (auto it : m_mDirectTime[iPos] )
{
const int iNewTime = iTime + it.second;
if (iNewTime > maxTime)
{
continue;
}
int& iNewFees = dp[iNewTime][it.first];
iNewFees = min(iNewFees, iCurFees + passingFees[it.first]);
}
}
}
int iMinFeel = INT_MAX;
for (auto& v : dp)
{
iMinFeel = min(iMinFeel, v[m_c - 1]);
}
return ( m_iNotMay == iMinFeel) ? -1 : iMinFeel;
}
int m_c;
vector<vector> dp;
vector<std::unordered_map<int, int>> m_mDirectTime;
const int m_iNotMay = 1000 * 1000 * 1000;

};

2023年7月版

class Solution {
public:
int minCost(int maxTime, vector<vector>& edges, vector& passingFees) {
m_c = passingFees.size();
vector<vector> vTimeNodeToMinCost(maxTime + 1, vector(m_c, INT_MAX));
vTimeNodeToMinCost[0][0] = passingFees[0];
for (int time = 1; time <= maxTime; time++)
{
for (const auto& v : edges)
{
Do(v[0], v[1], v[2], time, vTimeNodeToMinCost, passingFees);
Do(v[1], v[0], v[2], time, vTimeNodeToMinCost, passingFees);
}
}
int iMinCost = INT_MAX;
for (const auto& v : vTimeNodeToMinCost)
{
iMinCost = min(iMinCost, v.back());
}
return (INT_MAX == iMinCost) ? -1 : iMinCost;
}
void Do(int pre, int cur, int iUseTime,int time, vector<vector>& vTimeNodeToMinCost, const vector& passingFees)
{
int preTime = time - iUseTime;
if (preTime < 0)
{
return;
}
const int preMinCost = vTimeNodeToMinCost[preTime][pre];
if (INT_MAX == preMinCost)
{
return;
}
vTimeNodeToMinCost[time][cur] = min(vTimeNodeToMinCost[time][cur], preMinCost + passingFees[cur]);
}

int m_c;
vector < vector<pair<int, int>>> m_vNeiB;
int m_iMinCost = INT_MAX;
int m_iMaxTime;

};

2023年9月

class Solution {
public:
int minCost(int maxTime, vector<vector>& edges, vector& passingFees) {
m_iCityNum = passingFees.size();
std::unordered_map<int, int> mNodeNodeToTime[1001];
for (const auto& v : edges)
{
if (!mNodeNodeToTime[v[0]].count(v[1]) || (mNodeNodeToTime[v[0]][v[1]] > v[2]))
{
mNodeNodeToTime[v[0]][v[1]] = v[2];
mNodeNodeToTime[v[1]][v[0]] = v[2];
}
}
for (int i = 0; i < m_iCityNum; i++)
{
m_vNeiBo[i] = vector<pair<int, int>>(mNodeNodeToTime[i].begin(), mNodeNodeToTime[i].end());
}
return Do(maxTime, passingFees);
}
int Do(int maxTime, vector& passingFees)
{
vector vMinFee(m_iCityNum,INT_MAX);
std::priority_queue<tuple<int, int, int>, vector<tuple<int, int, int>>, std::greater<>> minHeap;
minHeap.emplace(0, 0, passingFees[0]);//总耗时，当前城市，最小消耗
while (minHeap.size())
{
const auto [time, city, fee] = minHeap.top();
minHeap.pop();
if (vMinFee[city] <= fee)
{
continue;
}
else
{
vMinFee[city] = fee;
}
for (const auto& [next, useTime] : m_vNeiBo[city])
{
const int iNewTime = time + useTime;
if (iNewTime > maxTime)
{
continue;
}
const int iNewFee = fee + passingFees[next];
minHeap.emplace(iNewTime, next, iNewFee);
}
}
return ( INT_MAX == vMinFee[m_iCityNum-1] ) ? -1 : vMinFee[m_iCityNum - 1];
}
vector<pair<int, int>> m_vNeiBo[1001];
int m_iCityNum;
};

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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