本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。——高等数学同济版

习题9-1 多元函数的基本概念

  本节主要介绍了多元函数的基本概念。

6.求下列各极限：

（3）$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy};$

解
$$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}& =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{4-(xy+4)}{xy(2+\sqrt{xy+4})}\\ & =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{-1}{2+\sqrt{xy+4}}=-\frac{1}{4}.\end{array}$$
（这道题主要利用了分子有理化的方法求解）

（4）$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{2-e^{xy}}-1};$

解
$$\begin{array}{r}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{\sqrt{2-e^{xy}}-1}=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{1-e^{xy}}\cdot (\sqrt{2-e^{xy}}+1)=-1\cdot 2=-2\end{array}$$
（这道题主要利用了分母有理化的方法求解）

（6）$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2{y}^2}}.$

解
$$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{(x^2+y^2)e^{x^2{y}^2}}& =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{e^{x^2{y}^2}}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 0=0.\end{array}$$
（本题主要利用了等价无穷小代换的方法求解，这部分内容见第一章第七节，传送门在这里）

9.证明$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

证  因为
$$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-0\right|⩽\frac{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.$$
  要使$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-0\right|<\epsilon$，只要$\sqrt{x^2+y^2}<2\epsilon$，所以$\forall \epsilon >0$，取$\delta =2\epsilon$，则当$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$时，就有$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-0\right|<\epsilon$成立，即$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$。（这道题主要利用了定义证明）

10.设$F(x,y)=f(x)$，$f(x)$在$x_0$处连续，证明：对任意$y_0\in \mathbf{R}$，$F(x,y)$在$(x_0,y_0)$处连续。

证  设$P_0(x_0,y_0)\in {\mathbf{R}}^2$，因为$f(x)$在$x_0$处连续，所以$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。从而，当$P(x,y)\in U(x_0,\delta )$时，$|x-x_0|⩽\rho (P,P_0)<\delta$，因而有
$$|F(x,y)-F(x_0,y_0)|=|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$$
  即$F(x,y)$在$(x_0,y_0)$处连续。（这道题主要利用了定义证明）

习题9-2 偏导数

  本节主要介绍了偏导数的基本概念及计算方法。

习题9-3 全微分

  本节主要介绍了全微分的基本概念及计算。

5.考虑二元函数$f(x,y)$的下面四条性质：
（1）$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续；
（2）$f_x(x,y)$，$f_y(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续；
（3）$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分；
（4）$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$存在。
若用“$P\Rightarrow Q$”表示可由性质$P$推出性质$Q$，则下列四个选项中正确的是（ \quad ）$$\begin{array}{rl}& (A)(2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1)\\ & (B)(3)\Rightarrow (2)\Rightarrow (1)\\ & (C)(3)\Rightarrow (4)\Rightarrow (1)\\ & (D)(3)\Rightarrow (1)\Rightarrow (4)\end{array}$$

解  由于二元函数偏导数存在且连续是二元函数可微分的充分条件，二元函数可微分必定可偏导，二元函数可微分必定连续，因此选项（A）正确。（这道题主要考察对于多元函数可微、可导、连续的理解）

习题9-4 多元复合函数的求导法则

本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。——高等数学同济版

  本节主要介绍了多元复合函数的求导法则。

习题9-5 隐函数的求导公式

  本节主要介绍了在多元函数的情况下对隐函数求导的方法。

11.设$y=f(x,t)$，而$t=t(x,y)$是由方程$F(x,y,t)$