背包问题

普通背包：

贪心时间复杂度:O(nlogn)

首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心 选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若 将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选 择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一 直地进行下去，直到背包装满为止

//program 2.3 背包问题 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=10005;
struct node{
    double w;//每个物品的重量
    double v;//每个物品的价值
    double p;//性价比
}s[M];

bool cmp(node a,node b){//自定义比较函数 
    return a.p>b.p;//根据物品的单位价值从大到小排序
}

double solve(int n,double W){
	double sum=0.0;//sum表示示装入物品的价值之和
	double cleft=W;//背包剩余容量 
    for(int i=0;i<n;i++){//贪心算法求解 
        if(s[i].w<=cleft){//如果物品的重量小于等于剩余容量 
            cleft-=s[i].w;
            sum+=s[i].v;
        }
        else{//如果物品的重量大于剩余容量 
            sum+=cleft*s[i].p;//部分装入
            break;
        }
    }
    return sum; 
}

int main(){
    int t,n;//t为测试用例个数,n为物品个数
    double W;//背包容量 
    cin>>t;
    while(t--){
	    cin>>n>>W;
	    for(int i=0;i<n;i++){
	        cin>>s[i].w>>s[i].v;
	        s[i].p=s[i].v/s[i].w;//每个宝物单位价值
	    }
	    sort(s,s+n,cmp);
    	cout<<solve(n,W)<<endl;//输出装入宝物的最大价值
    }
    return 0;
}

分别用动态规划法、回溯法、分支限界法设计 0-1背包问题 

 动态规划法时间复杂度:O(nc) c是背包容量。

这是因为需要填写一个二维数组来记录子问题的解。

//program 4.8 01背包 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxw=10005;
int c[maxn][maxw];//c[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包获得的最大价值
int w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
bool x[maxn]; //x[i]表示第i个物品是否放入背包

int knapsack(int n,int W){
    for(int i=1;i<=n;i++){//计算c[i][j]
        for(int j=1;j<=W;j++){
        	if(j<w[i])  //当物品的重量大于背包的容量，则不放此物品
                c[i][j]=c[i-1][j];
            else    //否则比较此物品放与不放哪种情况使得背包内的价值最大
                c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		} 
	}
    return c[n][W];
}

void print(int n,int W){//逆向构造最优解
    int j=W;
    for(int i=n;i>0;i--){
    	if(c[i][j]>c[i-1][j]){
            x[i]=1;
            j-=w[i];
        }
        else
            x[i]=0;
	}
    cout<<"装入背包的物品序号为:";
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	if(x[i])
           cout<<i<<"  ";
	}  
    cout<<endl; 
}

int main(){
    int n,W,t;//n表示n个物品，W表示背包的容量，t表示测试用例数 
    cin>>t;
    while(t--){
	    cin>>n>>W;
	    for(int i=1;i<=n;i++)
	        cin>>w[i]>>v[i];
	    for(int i=1;i<=n;i++)//初始化第0列为0
        	c[i][0]=0;
    	for(int j=1;j<=W;j++)//初始化第0行为0
        	c[0][j]=0;
	    cout<<knapsack(n,W)<<endl;
	    //print(n,W);
    }
    return 0;
}
/*测试数据 
2
5 10
2 6
5 3
4 5
2 4
3 6
4 52
12 13
10 24
22 13
9 24
*/

回溯法O(2的n次方）

//program 5.2 01背包 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
int n; //物品数量
double W; //背包容量
double w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
double cw,cp,bestp; //当前重量，当前价值，最优值
bool x[maxn];  //x[i]表示第i个物品是否放入背包
bool bestx[maxn];  //最优解

double bound(int i){//计算上界（已装入物品价值+剩余物品(第i~n种物品)的总价值）
    double rp=0;
    while(i<=n){//依次计算剩余物品的价值
        rp+=v[i];
        i++;
    }
    return cp+rp;
}

void backtrack(int t){//回溯法，t为层次 
    if(t>n){//到达叶子
        for(int j=1;j<=n;j++)//记录最优解 
            bestx[j]=x[j];
        bestp=cp;//记录最优值 
        return ;
    }
    if(cw+w[t]<=W){//如果满足约束条件，搜索左子树
        x[t]=1;
        cw+=w[t];
        cp+=v[t];
        backtrack(t+1);
        cw-=w[t];//还原现场 
        cp-=v[t];
    }
    if(bound(t+1)>bestp){//如果满足限界条件，搜索右子树
        x[t]=0;
        backtrack(t+1);
    }
}

int knapsack(){
    cw=0.0,cp=0.0,bestp=0.0; //当前放入背包的物品重量，价值，最优值
    backtrack(1);
    cout<<bestp<<endl;
//    for(int i=1;i<=n;i++){ //输出最优解
//        if(bestx[i]==1)
//    		cout<<i<<" ";
//    }
//	cout<<endl;
}

int main(){
    int t;//t表示测试用例数 
    cin>>t;
    while(t--){
	    cin>>n>>W;
	    for(int i=1;i<=n;i++)
	        cin>>w[i]>>v[i];
	    knapsack();
    }
    return 0;
}
/*测试数据 
2
5 10
2 6
5 3
4 5
2 4
3 6
4 52
12 13
10 24
22 13
9 24
*/

分支限界法时间复杂度接近于O(2^n)

//program 6.2 01背包 普通队列bfs AC 831ms 
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=105;
int n; //物品数量
double W; //背包容量
double w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
double bestp,sumv; //当前重量，当前价值，最优值，总价值  
bool bestx[maxn];  //最优解

struct node{
    double cp,rp; //cp当前放入背包的物品价值，rp剩余物品的价值
    double rw; //剩余容量
    int id; //物品号
    node() {}
    node(double _cp,double _rp,double _rw,int _id){
        cp=_cp;
        rp=_rp;
        rw=_rw;
        id=_id;
    }
};

void knapsack_bfs(){
    queue<node> q; //创建一个普通队列(先进先出)
    q.push(node(0,sumv,W,1)); //根结点入队 
    while(!q.empty()){ //如果队列不空
        node cur,lc,rc;//定义三个结点型变量
        cur=q.front();//取出队头元素
        q.pop(); //队头元素出队
//        cout<<cur.cp<<" "<<cur.rp<<" "<<cur.rw<<" "<<cur.id<<endl;
        int t=cur.id;//当前物品序号
        if(t>n) continue;
		if(cur.cp+cur.rp<bestp) continue;
		int cp=cur.cp;
		int rp=cur.rp-v[t];
        if(w[t]<=cur.rw){ //满足约束条件，可以放入
            lc=node(cp+v[t],rp,cur.rw-w[t],t+1);//生成左孩子 
            if(lc.cp>bestp)//比最优值大更新
            	bestp=lc.cp;
            q.push(lc);//左孩子入队
        }
        if(cp+rp>bestp){//满足限界条件
            rc=node(cp,rp,cur.rw,t+1);//生成右孩子 
            q.push(rc);//右孩子入队
        }
    }
}

int main(){
    int t;//t表示测试用例数 
    cin>>t;
    while(t--){
	    cin>>n>>W;
	    bestp=0.0,sumv=0.0; //sumv为所有物品的总价值
	    for(int i=1;i<=n;i++){
	    	cin>>w[i]>>v[i];
	    	sumv+=v[i];
		} 
	    knapsack_bfs();
	    cout<<bestp<<endl;
    }
    return 0;
}
/*测试数据 
1
4 10
2 6
5 3
4 5
2 4
*/