一、学习目标

1.了解二次型问题的内容
2.了解改进单纯形法解决二次型问题的过程

二、二次型问题

1.与线性问题相同，二次型问题的描述形式也有两类（type1：一般形式，type2：标准形式）：

其中H矩阵是二次项的参数矩阵，该项会直接导致整个模型是否存在最优解的问题。下面展示几个特殊二次项的图像：

下面左图存在多个极值点，右图则不存在最优值：

2.关于将一般形式转化为标准形式，其方式与线性问题一样：

三、改进单纯形法求解二次型问题

1.回想高中求二次函数的极值点，我们先求二次函数的导数，获得导数值为0的点，并将其作为我们的极值点。最多再多求一下二次导数，判断是极大值还是极小值。同理，对于二次型问题，我们一开始的目标函数为：

加上约束条件：
令其分别为约束函数h(x)和g(x)。即：

使用拉格朗日乘子法，引入λ和μ变量，目标函数变为：

对其求导，求导规则为：

令求导结果为0，可得：

总结以上，可得二次型问题转化为：

结果就是：一个求最值的问题变成了一个求0值的问题。但这样就不用迭代优化了，于是有了改进单纯形法（modified simplex method）

2.为了将问题再次变成一个最值问题，改进单纯形法引入了两个松弛变量u1和u2，使得问题公式变为：

用矩阵表示就是：

显然，原本没有u1和u2的时候就是我们要求的目标值，所以当u1和u2为0，即最小时，就是我们的目标值，于是，我们的目标函数变为：

于是，整个问题变为：

使用改进单纯形法时的初始值也确定了。

四、本章小结

1.主要学习二次型问题的内容。
2.学习二次型问题的两次变换，如何改进单纯形法使得二次型问题能迭代解决。