前言

本文我们继续介绍集合相关的其他公理，完善实分析中需要用到的集合论的内容，之后就可以学习函数了。

一、双并公理

上文讲到通过公理3.3 中给出的单元素集和双元素集构造更大的集合，就是要通过如下的双并公理：

公理3.4：给定两个集合A和B，存在一个集合，记作 $A\cup B$，叫做A和B的并集，其元素由属于A，或者属于B，或者同时属于A和B的所有元素组成。

该公理定义的并集运算，仍然是基于元素的归属得来的，因此仍然满足代入公理。即若 $A=A^{\prime }$，则 $A\cup B=A^{\prime }\cup B$。下面我们总结几条集合的并的性质，其实都是我们以前学过的内容：

若a和b是对象，则有 { a , b } = { a } ∪ { b } \{a,b\}=\{a\}\cup\{b\} {a,b}={a}∪{b}；若A、B、C是三个集合，有并运算是交换且结合的，即有 $A\cup B=A\cup B,(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$；对任意集合A，有 $A\cup A=A=A\cup \varnothing =\varnothing \cup A$

依次证明一下上述性质（书中习题3.1.3）：

1）证明：
“=>”
∀ x ∈ { a , b } , 有 x = a , 或者 x = b \forall x\in \{a,b\}, 有x=a, 或者 x=b ∀x∈{a,b},有x=a,或者x=b （公理3.3，双元素集）
∵ a ∈ { a } ， b ∈ { b } \because a\in \{a\}，b\in\{b\} ∵a∈{a}，b∈{b}
∴ a ∈ { a } ∪ { b } , b ∈ { a } ∪ { b } \therefore a\in\{a\}\cup\{b\}, b\in\{a\}\cup\{b\} ∴a∈{a}∪{b},b∈{a}∪{b}，即 ∀ x ∈ { a , b } \forall x\in \{a,b\} ∀x∈{a,b}, 有 x ∈ { a } ∪ { b } x\in \{a\}\cup\{b\} x∈{a}∪{b}。
“<=”
∀ x ∈ { a } ∪ { b } \forall x\in \{a\}\cup\{b\} ∀x∈{a}∪{b}, 有 x ∈ { a } , 或者 x ∈ { b } , 或者 x ∈ { a } 且 x ∈ { b } x\in \{a\}, 或者 x\in\{b\},或者x\in\{a\}且x\in\{b\} x∈{a},或者x∈{b},或者x∈{a}且x∈{b}。
$\therefore x=a,或者x=b,或者x=a=b$ （公理3.3，单元素集）
∀ x ∈ { a } ∪ { b } \forall x\in \{a\}\cup\{b\} ∀x∈{a}∪{b}, 有 x ∈ { a , b } x\in \{a,b\} x∈{a,b}。所以 { a , b } = { a } ∪ { b } \{a,b\}=\{a\}\cup\{b\} {a,b}={a}∪{b}

第一条引理说明了，单元素集的双并就是这两个对象构成的双元素集。证明他们相等就是利用定义，找到他们各自的一切元素都属于另一个集合即可。这里列举的元素包括了集合的一切元素是通过公理3.3保证的。

2）证明：反证法，设存在集合A,B，满足 $A\cup B\ne B\cup A$
$\therefore \exists x\in A\cup B,使得x\notin B\cup A$
则 $x\notin B,x\notin A$，且x不同时属于A和B（这句其实已经多余了）
由双并公理，可知 $x\notin A\cup B$，矛盾！

通过反证法的过程就可以清晰的看到，双并公理中对并集的描述并没有规定属于A和属于B存在什么区别，从而决定了并集运算拥有可交换性。

3)证明：对于 $x\in (A\cup B)\cup C$,
有 $x\in A\cup B,或者x\in C$
即 $x\in A,或者x\in B,或者x\in C$。
对于$x\in A\cup (B\cup C)=(B\cup C)\cup A$,
类似的有 $x\in B,或者x\in C,或者x\in A$。
所以对任意$x\in (A\cup B)\cup C$，有$x\in A\cup (B\cup C)$，反之亦然。

最后，通过双并公理，我们已经可以构造三元素集、四元素集…明显可以看到的是，一些集合似乎比另一个集合“大”，即集合间存在类似于“序”的关系。比如集合 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2} 容易被认为比集合 { 1 } \{1\} {1} 要大。但是要正式定义清楚这个关系，就需要引入子集的概念。

二、集合的子集

集合的子集定义如下：

设A和B为集合，称A是B的子集（A包含于B或者说B包含A），记作 $A\subseteq B$，当且仅当对A的每个元素x，都有 $x\in B$。特别的，如果 $A\ne B，A\subseteq B$，则称A为B的真子集，记作 $A⊊B$。

首先可以看到子集的定义仍然是再在描述元素的归属，因此仍然满足代入公理。相关的有一些平凡的结论：$A\subseteq A,\varnothing \subseteq A$ 对任意集合A均成立。关于这两个结论这里可以作简单说明：对于第一个结论，与证明相等的自反性一样，只不过只需要说明一个方向的元素归属关系即可。对于结论2，由于空集中取不出任何元素，通过反证法，即也找不出任意元素属于空集而不属于A，因此也成立。

其次，子集的概念中隐含了一些集合的序的关系，即可以认为集合B要“大于等于”他的子集A。比如如下的命题：

设A、B、C是集合，如果有 $A\subseteq B,B\subseteq C$, 则 $A\subseteq C$；如果 $A\subseteq B,B\subseteq A$, 则 $A=B$；如果有 $A⊊B,B⊊C$, 则 $A⊊C$；

上述三个命题与自然数中定义的序十分类似，体现了集合的包含关系中部分地安排了集合的序。我们一个个地来证明一下这些命题：

1）证明：子集关系的传递性
$\because A\subseteq B$
$\therefore \forall x\in A$，有 $x\in B$
$\because B\subseteq C$
$\therefore \forall y\in B$，有 $y\in C$
$\therefore \forall x\in A$，有 $x\in C$
$\therefore A\subseteq C$

2. 证明：
   $\because A\subseteq B$

$\therefore \forall x\in A$，有 $x\in B$
$\because B\subseteq A$
$\therefore \forall y\in B$，有 $y\in A$。
根据集合相等的定义，有 $A=B$

3. 证明：由命题1可知，$A\subseteq C$, 下证 $A\ne C$。
   反证法，假设 $A=C$, 则由代入公理有 $B⊊C=A$
   也会有 $B\subseteq A$
   $\because A⊊B=>A\subseteq B$
   $\therefore A=B$ 矛盾！

在命题3的证明中，我们用到了一个子集的性质，即 $A⊊B=>A\subseteq B$。因为真子集满足子集的定义，自然也是子集。从而很容易推出矛盾。

然而子集关系并没有完全安排集合的序，因为它只是集合及其子集之间的序，对于没有包含关系的两个集合而已，无法通过这种方式去得到序。因此它只是安排了集合及子集之间的序，只是部分的。

三、分类公理

分类公理给出了从一个集合中分离一部分元素构成一个子集的方式，具体如下：

设A是一个集合，并对 $\forall x\in A$，有依赖于x的性质 $P(x)$. ∃ { x ∈ A : P ( x ) 成立 } \exist \{x\in A: P(x) 成立\} ∃{x∈A:P(x)成立} 是一个集合，其中的元素恰好是 $P(x)$为真的x。

这个公理也称为分离公理，因为它相当于使用性质P，将集合A分离成了使得P成立与不成立的两部分。上述分离出来的集合一定是A的子集（因为都是从A中取出来的），此外，若有 $A=A^{\prime }$
，则用性质P分离出来的子集也相等，即 { x ∈ A : P ( x ) 成立 } = { x ∈ A ′ : P ( x ) 成立 } \{x\in A: P(x) 成立\}= \{x\in A': P(x) 成立\} {x∈A:P(x)成立}={x∈A′:P(x)成立}，（容易验证A中的每个元素x也都属于A’，其中使得P成立的x自然也都属于A‘分离出的子集，反之亦然。）从而可知代入公理仍然适用。

通过分离公理，我们可以定义一些其他的集合运算了（如集合的差、交），具体格式为，从集合A中分离一些元素x，然后定义一个与另一个集合B的元素归属相关的性质，从而可以得到一个分离子集，使之成为该运算的结果 { x ∈ A , P B ( x ) } \{x\in A, P_B(x)\} {x∈A,PB​(x)}。由于篇幅原因，具体内容放到下节展开。