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ybt 1286：怪盗基德的滑翔翼
OpenJudge NOI 2.6 4977:怪盗基德的滑翔翼

【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

• 最长上升子序列
• 最长下降子序列

【解题思路】

基德可以在任意楼作为起点，然后向左或向后走一个降序序列。
从右向左看是一个降序序列，那么从左向右看，这就是一个升序序列。
因此该题求的是：最长上升子序列长度与最长下降子序列长度的最大值。
记a[i]为第i个元素

1. 求最长上升子序列

状态定义：dpu[i]表示以i为结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程：
分割集合：以第i元素为结尾的上升子序列构成的集合。

• 子集1：对所有满足j < i的j， 如果a[i]>a[j]，则以第j元素为结尾的上升子序列加上第i元素，形成新的上升子序列。上升子序列的长度dpu[i] = dpu[j]+1。
• 子集2：否则，只有一个第i元素构成上升子序列。dpu[i] = 1。
  dpu[i]为所有可能的状态值中的最大值。

求dpu中的最大值，即为最长上升子序列的长度。

2. 求最长下降子序列

状态定义：dpd[i]表示以i为结尾的最长下降子序列的长度。
状态转移方程：
分割集合：以第i元素为结尾的下降子序列构成的集合。

• 子集1：对所有满足j < i的j， 如果a[i]<a[j]，则以第j元素为结尾的下降子序列加上第i元素，形成新的下降子序列。下降子序列的长度dpd[i] = dpd[j]+1。
• 子集2：否则，只有一个第i元素构成下降子序列。dpd[i] = 1。

dpd[i]为所有可能的状态值中的最大值。
求dpu中的最大值，即为最长下降子序列的长度。

最后比较最长上升子序列的长度与最长下降子序列的长度，求最大值。
注意这是多组数据问题，解决每组数据的问题前要清空相关变量。

【题解代码】

写法1：线性动规 分别求最长上升、最长下降子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int a[N], dpu[N], dpd[N];
int main()
{
    int k, n, mxu, mxd;
    cin >> k;
    while(k--)
    {
        mxu = mxd = 0;
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i)//求最长上升子序列 
        {
            dpu[i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; ++j)
                if(a[i] > a[j])
                    dpu[i] = max(dpu[i], dpu[j]+1);
            mxu = max(mxu, dpu[i]);
        }   
        for(int i = 1; i <= n; ++i)//求最长下降子序列 
        {
            dpd[i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; ++j)
                if(a[i] < a[j])
                    dpd[i] = max(dpd[i], dpd[j]+1);
            mxd = max(mxd, dpd[i]);
        }
        cout << max(mxu, mxd) << endl;
    }
    return 0;
}

写法2：线性动规 合在一起求最长上升、最长下降子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int a[N], dpu[N], dpd[N];
int main()
{
    int k, n, mx;
    cin >> k;
    while(k--)
    {
        mx = 0;
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i)//求最长上升子序列 
        {
            dpu[i] = dpd[i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; ++j)
            { 
                if(a[i] > a[j])
                    dpu[i] = max(dpu[i], dpu[j]+1);
                if(a[i] < a[j])
                    dpd[i] = max(dpd[i], dpd[j]+1);
            }
            mx = max(max(dpd[i], dpu[i]), mx); 
        }
        cout << mx << endl;
    }
    return 0;
}