状态空间模型 (State Space Models, SSMs): 连续时间隐状态模型

状态空间模型 (SSM) 是一种用于将一维输入信号$u(t)$映射到$N$维隐状态$x(t)$的数学模型，并最终投影到一维输出信号$y(t)$上。SSMs 在许多科学领域中广泛使用，并与隐状态模型（如隐马尔可夫模型，HMM）相关。

公式 (1)

状态空间模型的基本形式由以下简单的方程定义：

$$\begin{gathered} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{gathered}$$

其中：
-$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的时间导数。
-$A$是状态矩阵，描述了状态之间的相互关系。
-$B$是输入矩阵，描述了输入信号对状态的影响。
-$C$是输出矩阵，描述了状态对输出的影响。
-$D$是直接传输矩阵，描述了输入信号对输出的直接影响。

目标

我们的目标是将SSM作为深度序列模型中的一个黑箱表示，其中矩阵$A$、$B$、$C$和$D$是通过梯度下降学习的参数。

为了简化讨论，本文余下部分将省略参数$D$（等效地，假设$D=0$），因为项$Du$可以视为跳跃连接（skip connection），其计算相对简单。

公式解释

1. 状态更新方程：
   $$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

   • 含义：该方程描述了系统的状态$x(t)$如何随着时间的推移而变化。矩阵$A$决定了状态之间的内在动态，而矩阵$B$则描述了外部输入$u(t)$对状态的影响。

2. 输出方程：
   $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

   • 含义：该方程描述了系统的输出$y(t)$如何由状态$x(t)$和输入$u(t)$决定。在我们的简化模型中，我们假设$D=0$，因此输出仅依赖于状态$x(t)$和矩阵$C$的线性组合。

应用示例

控制系统中的应用

假设我们有一个简单的控制系统，用于控制一个物体的运动。系统的状态包括位置和速度（即$x=\left(\begin{array}{c}\text{position}\\ \text{velocity}\end{array}\right)$），输入信号$u$是施加的力，输出信号$y$是物体的位置。

• 状态矩阵$A$ 可以表示为：
  $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -k/m\end{array}\right)$$
  其中$k$是阻尼系数，$m$是物体的质量。

• 输入矩阵$B$ 可以表示为：
  $$B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1/m\end{array}\right)$$

• 输出矩阵$C$ 可以表示为：
  $$C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$$
  表示我们只关心物体的位置。

实践中的学习过程

在深度学习框架中，SSM的参数$A$、$B$和$C$可以通过梯度下降算法进行优化。这意味着通过反向传播，我们可以调整这些参数，使得模型在给定数据上的预测性能最优。

训练步骤

1. 初始化：初始化状态矩阵$A$、输入矩阵$B$和输出矩阵$C$。
2. 前向传播：计算模型的输出$y(t)$。
3. 计算损失：根据预测输出$y(t)$和实际值计算损失。
4. 反向传播：计算梯度，并更新参数$A$、$B$和$C$。
5. 迭代：重复上述步骤，直到模型收敛。

通过上述步骤，可以有效地训练状态空间模型，使其能够处理各种时间序列数据，包括图像、音频、文本等领域的数据。