每日一题：解决N皇后问题的深度优先搜索（DFS）算法详解

引言

N皇后问题是经典的算法问题之一，要求在N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们互不攻击。具体来说，任何两个皇后不能在同一行、同一列或同一对角线上。本文将详细介绍如何使用深度优先搜索（DFS）算法来解决N皇后问题，并提供一个完整的C++实现。

1、问题描述

给定一个正整数n，表示一个n×n的棋盘，要求放置n个皇后，使得每行、每列和每条对角线上都只有一个皇后。返回所有可能的摆法数量。
在这里插入图片描述

例如，当n=4时，有两种摆法：

4
2

2、算法思路

2.1 深度优先搜索（DFS）

DFS是一种用于遍历或搜索树或图的算法。在N皇后问题中，我们可以将棋盘的状态看作一个树，每个节点代表棋盘的一个状态，边代表放置一个皇后的操作。

2.2 剪枝

为了减少搜索空间，我们需要在DFS过程中进行剪枝。具体来说，当我们放置一个皇后时，需要检查当前列、主对角线和副对角线是否已经被其他皇后占据。如果已经被占据，则跳过该位置。

2.3 回溯

当我们在某一行放置皇后后，继续递归到下一行。如果某一行无法放置皇后，则回溯到上一行，尝试其他位置。

3、代码实现

以下是使用C++实现的N皇后问题的DFS算法：

class Queens {
public:
    int cnt = 0, N;
    bool col[15], dpos[30], dneg[30];

    int nQueens(int n) {
        N = n;
        dfs(0);
        return cnt;
    }

    void dfs(int i) {
        if (i == N && i != 0) { // 到达最后一行，注意0是特殊数据
            cnt++; // 计数
            return;
        }
        for (int j = 0; j < N; j++) { // 在这一行的每一列放皇后
            if (col[j] || dpos[i + j] || dneg[i - j + N - 1]) continue; // 有别的皇后能攻击到就忽略这个位置
            col[j] = dpos[i + j] = dneg[i - j + N - 1] = 1; // 占领这些相应的列和左下对角线和右下对角线
            dfs(i + 1); // 到下一行
            col[j] = dpos[i + j] = dneg[i - j + N - 1] = 0; // 拿掉这行的皇后，取消相应的占领
        }
    } // 运行到这说明该行放置皇后失败，不计数返回
};

代码解析

变量定义：
- cnt：记录合法的摆法数量。
- N：棋盘的大小。
- col[15]：标记每一列是否被占据。
- dpos[30]：标记主对角线是否被占据。
- dneg[30]：标记副对角线是否被占据。
nQueens函数：
- 初始化棋盘大小N，并调用DFS函数开始搜索。
dfs函数：
- 如果当前行i等于N，说明已经成功放置了N个皇后，增加计数器cnt。
- 遍历当前行的每一列，尝试放置皇后。
- 如果当前位置可以放置皇后（即列、主对角线和副对角线都没有被占据），则标记这些位置为被占据，并递归到下一行。
- 如果递归返回，说明当前行的皇后放置失败，取消标记，尝试下一个位置。

4、深入解析：

深入解析N皇后问题中的对角线表示：dpos[i + j] 和 dneg[i - j + N - 1]

在解决N皇后问题时，除了需要确保每行和每列只有一个皇后外，还需要确保每条对角线上也只有一个皇后。为了高效地检查对角线上是否已经存在皇后，我们通常使用两个数组 dpos 和 dneg 来分别表示主对角线和副对角线的状态。本文将详细解释为什么 dpos[i + j] 和 dneg[i - j + N - 1] 可以表示棋盘上的对角线。

4.1 棋盘的对角线

在一个N×N的棋盘上，每个位置 (i, j) 属于两条对角线：

主对角线：从左上到右下的对角线。
副对角线：从右上到左下的对角线。

我们需要为每条对角线分配一个唯一的标识符，以便快速检查是否有皇后占据了该对角线。

4.2 主对角线的表示：`dpos[i + j]`

为什么是 `i + j`？

在同一主对角线上的所有位置 (i, j) 满足 i + j 是一个常数。
- 例如，在4×4的棋盘上：
  - 位置 (0, 0) 的主对角线标识符为 0 + 0 = 0。
  - 位置 (1, 1) 的主对角线标识符为 1 + 1 = 2。
  - 位置 (2, 2) 的主对角线标识符为 2 + 2 = 4。
因此，i + j 可以唯一标识一条主对角线。

示例

在4×4的棋盘上，主对角线的标识符如下：

	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	4
2	2	3	4	5
3	3	4	5	6

可以看到，每条主对角线的 i + j 值都是唯一的。

4.3 副对角线的表示：`dneg[i - j + N - 1]`

定义

副对角线是从右上到左下的对角线。
对于棋盘上的任意一个位置 (i, j)，其副对角线的标识符可以通过 i - j + N - 1 计算得到。

为什么是 `i - j + N - 1`？

在同一副对角线上的所有位置 (i, j) 满足 i - j 是一个常数。
- 例如，在4×4的棋盘上：
  - 位置 (0, 3) 的副对角线标识符为 0 - 3 + 3 = 0。
  - 位置 (1, 2) 的副对角线标识符为 1 - 2 + 3 = 2。
  - 位置 (2, 1) 的副对角线标识符为 2 - 1 + 3 = 4。
由于 i - j 的值可能为负数，我们通过加上 N - 1 来确保标识符始终为非负数。

示例

在4×4的棋盘上，副对角线的标识符如下：

	0	1	2	3
0	3	2	1	0
1	4	3	2	1
2	5	4	3	2
3	6	5	4	3

可以看到，每条副对角线的 i - j + N - 1 值都是唯一的。

4.4 为什么需要 `dpos` 和 `dneg`？

在N皇后问题中，我们需要快速检查某个位置 (i, j) 是否可以被放置皇后。具体来说，需要满足以下条件：

当前列 j 没有被占据（通过 col[j] 检查）。
当前主对角线 i + j 没有被占据（通过 dpos[i + j] 检查）。
当前副对角线 i - j + N - 1 没有被占据（通过 dneg[i - j + N - 1] 检查）。

通过 dpos 和 dneg，我们可以高效地标记和检查对角线的状态，从而避免重复计算。

4.5 代码中的具体实现

在代码中，dpos 和 dneg 是两个布尔数组，分别用于标记主对角线和副对角线是否被占据。具体实现如下：

bool col[15], dpos[30], dneg[30]; // 列、主对角线、副对角线的标记数组

void dfs(int i) {
    if (i == N) { // 如果已经放置了N个皇后
        cnt++; // 增加计数
        return;
    }
    for (int j = 0; j < N; j++) { // 尝试在当前行的每一列放置皇后
        if (col[j] || dpos[i + j] || dneg[i - j + N - 1]) continue; // 检查是否被占据
        col[j] = dpos[i + j] = dneg[i - j + N - 1] = true; // 标记占据
        dfs(i + 1); // 递归到下一行
        col[j] = dpos[i + j] = dneg[i - j + N - 1] = false; // 回溯，取消标记
    }
}

关键点

dpos[i + j]：标记主对角线。
dneg[i - j + N - 1]：标记副对角线。
如果某个位置 (i, j) 的主对角线或副对角线已经被占据，则跳过该位置。

5. 总结

dpos[i + j] 和 dneg[i - j + N - 1] 是用于表示棋盘上主对角线和副对角线的唯一标识符。
通过这两个数组，我们可以高效地检查某个位置是否可以被放置皇后，从而避免冲突。
这种表示方法是N皇后问题中常用的优化技巧，能够显著减少计算量。

总结

通过深度优先搜索和剪枝策略，我们可以高效地解决N皇后问题。该算法的时间复杂度为O(N!)，但由于剪枝的存在，实际运行时间会大大减少。希望本文能帮助你理解N皇后问题的解法，并掌握DFS算法的应用。

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希望本文能帮助你更好地理解N皇后问题中对角线的表示方法！如果有任何疑问，欢迎在评论区留言讨论！

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