聚类学习是机器学习领域中的一个重要分支，其主要目标是将未知标签数据集中的样本分成不同的组别（簇），使得同一组内的样本相似度较高（物以类聚），而不同组之间的相似度较低（分类）。聚类分析有助于识别数据中的规律、模式、结构和群体，并对无监督学习问题提供有价值的信息。

1. 基本概念

• 相似度度量： 聚类算法通常使用相似度度量（如欧氏距离、余弦相似度等）来评估样本之间的相似程度。

将相似的样本聚集在一起，使得同一类簇的样本尽可能接近，不同类簇的样本尽可能远离。对于“距离度量”，满足一些基本性质：

• 聚类算法： 常见的聚类算法包括K均值聚类、层次聚类、DBSCAN（基于密度的聚类）等。

2. 常见聚类算法

2.1 K均值聚类（k-means clustering）

K均值聚类是一种常用的无监督学习算法，用于将数据集中的样本划分为K个不同的簇，使得每个样本属于离其最近的簇中心。该算法被广泛应用于数据分析、图像处理和模式识别等领域。

将样本分成K个簇，使得每个样本与其所属簇的中心点的距离最小化：

• 簇中心初始化： 随机选择K个样本作为初始的簇中心。

• 样本分配： 将每个样本分配到离其最近的簇中心所对应的簇。

• 更新簇中心： 对每个簇，计算其所有样本的均值，将该均值作为新的簇中心。

• 迭代： 重复进行样本分配和簇中心更新，直到收敛（簇中心不再改变）或达到预定的迭代次数。

算法步骤：

1. 随机初始化K个簇的中心点。
2. 将每个样本分配到最近的簇。
3. 更新每个簇的中心点。
4. 重复2-3步骤，直到收敛或达到预定迭代次数。

# 导入必要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成模拟数据
data, labels = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 创建K均值聚类模型
kmeans = KMeans(n_clusters=4, random_state=42)

# 拟合模型
kmeans.fit(data)

# 获取聚类结果
predicted_labels = kmeans.labels_

# 获取聚类中心
centroids = kmeans.cluster_centers_

# 可视化聚类结果和聚类中心
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=predicted_labels, cmap='viridis', alpha=0.5)
plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], marker='X', s=200, linewidths=0.2, color='red')
plt.title('K-Means Clustering')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()

• ε（Epsilon）： 邻域半径，用于定义一个样本的邻域。
• MinPts： 最小样本点数，一个核心点所需的最小样本数。

2 算法步骤

1. 随机选择一个未被访问的样本点。
2. 如果该样本点的ε邻域内包含至少MinPts个样本点，标记为核心点。
3. 以核心点为起点，通过密度可达性，找到所有密度可达的样本点，形成一个簇。
4. 重复1-3步骤，直到所有样本点都被访问。

3 算法特点

• 核心点： 在ε邻域内包含至少MinPts个样本的点。
• 边界点： 不是核心点，但在某个核心点的ε邻域内。
• 噪音点： 既不是核心点也不是边界点。

3 优势与应用场景

• 适应任意形状的簇： DBSCAN不需要预先指定簇的数量，能够发现任意形状的簇。
• 鲁棒性： 对噪声和离群点具有较强的鲁棒性。
• 应用场景： 地理信息系统、图像分割、异常检测等。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.cluster import DBSCAN

# 生成月亮形状的数据
data, _ = make_moons(n_samples=200, noise=0.05, random_state=42)

# 创建DBSCAN聚类模型
dbscan = DBSCAN(eps=0.3, min_samples=5)

# 拟合模型
dbscan.fit(data)

# 获取聚类结果
predicted_labels = dbscan.labels_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=predicted_labels, cmap='viridis', alpha=0.7)
plt.title('DBSCAN Clustering (Arbitrary Shape)')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()

2.3 层次聚类

层次聚类是一种无监督学习算法，其主要目标是通过构建样本之间的层次结构将数据集中的样本分组。这种层次结构通常以树的形式表示，称为聚类树或树状图。层次聚类方法有两种主要类型：凝聚型和分裂型。

1. 凝聚型层次聚类

在凝聚型层次聚类中，首先将每个样本看作一个单独的簇，然后逐步合并具有最小距离的簇，直到达到预定的簇的数量或所有样本合并成一个簇。

算法步骤：

1. 每个样本作为一个初始簇。
2. 找到最近的两个簇，将其合并为一个新簇。
3. 重复2步骤，直到达到预定的簇的数量或形成一棵层次树。

2. 分裂型层次聚类

在分裂型层次聚类中，首先将所有样本看作一个簇，然后逐步将簇分裂为子簇，直到每个样本都成为一个独立的簇。

1. 所有样本作为一个初始簇。
2. 找到最不相似的样本，将其从簇中分离出去，形成一个新簇。
3. 重复2步骤，直到每个样本都成为一个独立的簇或达到预定的簇的数量。

3 相似度度量

层次聚类的关键在于定义簇或样本之间的相似度。常用的相似度度量包括欧氏距离、曼哈顿距离、相关系数等。

层次聚类是一种强大而直观的聚类算法，通过构建层次结构揭示数据中的聚类关系。根据具体问题的要求，选择凝聚型或分裂型层次聚类，并合理选择相似度度量，可以得到对数据内在结构有深刻理解的聚类结果。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage

# 生成模拟数据
data, labels = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 创建凝聚型层次聚类模型
agg_clustering = AgglomerativeClustering(n_clusters=4, linkage='ward')

# 拟合模型
agg_clustering.fit(data)

# 获取聚类结果
predicted_labels = agg_clustering.labels_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=predicted_labels, cmap='viridis', alpha=0.5)
plt.title('Agglomerative Clustering')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()

# 绘制层次聚类的树状图
linked = linkage(data, 'ward')
dendrogram(linked, orientation='top', distance_sort='descending', show_leaf_counts=True)
plt.title('Hierarchical Clustering Dendrogram')
plt.xlabel('Sample Index', rotation = 70)
plt.ylabel('Distance')
plt.show()

最后，聚类学习是无监督学习的一个重要方向，通过对数据进行分组，揭示数据的内在结构。不同的聚类算法适用于不同类型的数据和问题，选择适当的算法和评价指标对于有效的聚类分析至关重要。

更多的资料可以参考西瓜书，吃瓜教程