【空间光-光纤耦合技术05】单模光纤特性分析（下）

本部分的学习参考柯熙政老师的《无限光通信中的空间光——光纤耦合技术》及欧攀老师的《高等光学仿真（MATLAB版）》，为自学笔记，博客末尾附上了在学习过程中参考的博客内容。

单模光纤的归一化相位常数

归一化相位常数定义为：

$b=\frac{W^2}{V^2}=\frac{\beta ^2-k_0^2n_2^2}{k_0^2n_1^2-k_0^2n_2^2}=\frac{n_{eff}^2-n_2^2}{n_1^2-n_2^2}$

描述了光纤中某种模式的归一化相位常数或相速。对于所有的导波模都有 $b\in(0,1)$ 。通过前面提到的模式特征方程，可以得到单模（LP01）光纤的归一化相位常数和归一化频率V满足如下特征方程：

$V\sqrt{1-b}\frac{J_1(V\sqrt{1-b})}{J_0(V\sqrt{1-b})}-V\sqrt{b}\frac{K_1(V\sqrt{b})}{K_0(V\sqrt{b})}=0$

绘制LP01模的V和b的关系曲线如下：

Vmax = 10;   % V的最大值为10
N =100;   % 共计算（0.1,10）中的100个点
V = (1:N)/N*Vmax;
b = zeros (N, 1) ;

% 主循环，求解不同V对应的b值
for j = 1:N
    Vtemp = V(j);
    btemp = NaN;
    i = 0;
    while (isnan(btemp) && i<N+1)
        init = (N-i) / N;
        try
            btemp = fzero (@ (b) ...
                Vtemp+sqrt(1-b) * besselj(1, Vtemp*sqrt(1-b)) / ...
                besselj(0, Vtemp*sqrt(1-b)) - Vtemp*sqrt (b) * ...
                besselk(1, Vtemp*sqrt(b)) /besselk(0, Vtemp*sqrt(b)), init) ;
        catch
        end
        i = i+1;
    end
    b(j) = btemp;
end

plot (V, b);

单模光纤的光功率填充因子

光功率填充因子表示纤芯中光功率占光纤总功率的比重。在光纤激光器中，通过优化光功率填充因子可以提高激光器的增益效率和输出功率；在光纤通信中，光功率填充因子可以用于评估光纤的传输性能和稳定性。

对于一个特定的波导模式V（V是光纤归一化频率，是指光波导电磁模式的截止频率对光纤波导结构量的比值，这个比值依赖于纤芯的几何尺寸（如纤芯半径）和折射率剖面，故这里这样描述），其光纤纤芯中光功率填充因子的计算公式如下（方法一）：

$\Gamma =\frac{P_{core}}{P_{total}}=(1-\frac{U^2}{V^2})[1-\frac{J_l^2(U)}{J_{l+1}(U)J_{l-1}(U)}]$

对于LP01模的单模光纤，将下标l换为1即可得到单模光纤的光功率填充因子的计算公式。

还可以根据单模光纤中归一化光强公式，通过积分来计算其纤芯中的光功率填充因子，光纤中归一化光强公式在之前的内容中已经给出，填充因子的计算公式如下（方法二）：

$\Gamma_{01} =\frac{P_{core}}{P_{core}+P{clad}}=\frac{\int_{0}^{1}I(R_a)R_adR_a}{\int_{0}^{\infty }I(R_a)R_adR_a}$

用以上两种方法得到的V与单模光纤的光功率填充因子的曲线如下（方法二为红色虚线）：

从图中可以看出当V＜1时，通过积分计算得到的计算结果与根据式计算得到的结果误差较大，而当V>1.5时两者得到的结果趋于一致。这是因为，当V值比较小时，光纤中的光功率大多分布在包层中。

% 根据定义计算LP01模的光功率填充因子
Gamma1 = (1-U.^2./V.^2).* (1-besselj(0,U).^2./(besselj(1, U).*besselj(-1, U)));

% 根据积分计算LP01模的光功率填充因子
for i = 1: length (V)
    Pcore (i) = quad (@ (R) R.*besselj (0, U (i) *R) .^2, 0, 1) ;
    Pclad (i) = quad (@ (R) R.*besselj (0, U (i))^2.*besselk (0,W(i) *R) .^2./besselk (0, W(i)) ^2, 1,5) ;
    Gamma2 (i) = Pcore (i) / (Pcore (i) +Pclad (i) ) ;
end

figure
plot (V, Gamma1, V, Gamma2, ' r--')
xlabel ('V' )
ylabel ('\Gamma_{01}')

单模光纤的模场直径（模场半径）

在考查单模光纤的性能参数时，一个十分重要的性能参数是光纤中传输模场的几何分布，即单模光纤的模场直径（mode feild diameter,MFD）或模场半径。模场半径可以由主模式LP01模的模场分布决定。多模光纤的模场半径与纤芯半径几乎相等，但是单模光纤的模场半径一般不等于纤芯半径，这是因单模光纤中并非所有的光都由纤芯承载并局限于纤芯内传播。

当光纤的归一化频率V >1.2时，可以用高斯函数来近似描述光纤内模式LP01模的模场分布。此时，可以将电场分布近似为

$E(r)=E_0e^{-r^2/w_0^2}$