全排列问题

P1706 全排列问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

深度优先搜索原理（纯个人理解）

和循环做对比：

两层循环嵌套的情况下，假设内层循环运行到一半时我不想运行了，我想把外层循环的状态往回拨（例如for循环一般用一个进度标记变量i表示循环进度，修改i的值用以控制循环）重新开始。

但是直接终止内层循环的话，即使修改外层循环的循环进度，也无法回到外层循环之前的状态，或者说需要付出巨大的条件。

我们知道，递归是函数调用自己本身。底层有专门的寄存器记录当前函数的进度，当函数递归时，在函数所在的栈空间会生成一个和自己一样的函数先执行，新生成的函数执行完了，会回到原来的函数原来的进度继续进行。

利用这个特性，我们用递归代替外层的循环，内部再用一个循环，这样内层循环运行到一半不想运行了，直接退出当前函数，回到上一层函数发生递归的语句后，继续运行。这样做的最大好处是可以以非常低的成本回到之前的状态。

这种利用递归和栈的特性实现的枚举方式被称作深度优先搜索（depth first search，简称dfs）算法。

例如这题枚举全排列，假设枚举到1,2,3时，输出123，然后3的空位让出来，3后面没有数字了，回到2,2的后面还有一个3，于是有了1,3；再到第三个空位，此时有1,2可以用，1之前用过了，就把2放上去，于是就有了132。

利用这个思路，即可完成全排列的枚举。而这个思路也是dfs的通用思路。

用这个算法时一定要想清楚状态，以及回来（书上和资料上叫回溯）的时候，哪些状态要还原，哪些不还原。例如这里1之前用过了，后面就不能用了，等之前的用完了才能用。

参考程序

#include<stdio.h>

int flag[10];
int ans[10],p;

//深度优先搜索
void dfs(int n,int depth){
	if(depth>n){
		int i=0;
		for(i=1;i<=n;i++){
			printf("%5d",ans[i]);
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	int i=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(flag[i]==1)
			continue;
		flag[i]=1;//标记状态，下层枚举时跳过这层 
		ans[++p]=i;//记录答案 
		dfs(n,depth+1);//前往下一层 
		--p;//回溯 
		flag[i]=0;//回到之前的状态
	}
}

int main() {
    int n;
	scanf("%d",&n);
	dfs(n,1);
	return 0;
}

但这个算法的时间复杂度一般都是平方甚至是指数级，若递归太深还会导致栈溢出。所以dfs也有很大的局限性。为了降低复杂度和减少栈溢出，有很多技巧（有的大佬称之为剪枝）可以进行，后面有刷到相关的题就提一下。

dfs通用模版

模拟两层循环的dfs模版：

void dfs(int depth, 其他参数){//depth用于标记递归深度，可以没有
    if(depth太深不给往下走了或其他情况){
        整理状态;
        return;
    }
    if(其他情况（如果有的话，虽然可以放在一个if里处理）){
        整理状态;
        return;
    }
    //...
    for(初始情况;是否枚举完了所有情况;){
        if(情况1不符合条件)
            continue;
        if(情况2不符合条件)
            continue;
        //...
        标记状态;
        处理当前情况;
        dfs(depth+1，其他参数);
        将标记的状态回溯到原来的样子;
    }
}

个人更喜欢用这个，因为在比赛的环境下，自己并不能一下子想到所有不符合条件的情况或状态，所以用这个模版的话想到一个添加一个，也不用修改之前的判断。

当然，模版并不唯一，只要能理解整个思路，以及整理好实际问题的所有状态，就能用dfs解决问题。