前言

本博文适合有一定立体几何基础的学生自学使用。

典例剖析

【2024高一数学必修二训练题】如图，已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，点 $P$ 在面对角线 $B{C}_1$ 上运动，则下列四个结论：① 三棱锥 $A-D_{1}PC$ 的体积不变；② $A_{1}P//$ 平面 $AC{D}_1$；③ $DP\perp B{C}_1$；④ 平面 $PD{B}_1\perp$ 平面 $AC{D}_1$ . 其中正确的序号为__________ ；①②④ ；

解析：由于容易发现 $B{C}_1//A{D}_1$，故当点 $P$ 在面对角线 $B{C}_1$ 上运动时，点 $P$ 到平面 $A{D}_{1}C$ 的距离应该是定值，再结合下底面 $A{D}_{1}C$ 的面积固定，则可知三棱锥 $P-A{D}_{1}C$ 的体积不变，即三棱锥 $A-D_{1}PC$ 的体积不变，故①正确；

证明②的正确的思路比较多：其一，连接$A_{1}B$，$A_1{C}_1$，则容易知道平面 $A{D}_{1}C//$ 平面 $A_{1}B{C}_1$，故当点 $P$ 在面对角线 $B{C}_1$ 上运动时，直线 $A_{1}P\subset$ 平面 $B{A}_1{C}_1$，故 $A_{1}P//$ 平面 $AC{D}_1$；其二，特殊位置法，分别让点 $P$ 移动到点 $B$ 和点 $C_1$，在这两个特殊位置时都可以说明 $A_{1}P//$ 平面 $AC{D}_1$，这样猜想当点 $P$ 移动到其他位置时，一定有 $A_{1}P//$ 平面 $AC{D}_1$；其三，在平面 $A{D}_{1}C$ 中如何找这样的直线，过点 $C$ 在平面 $A{D}_{1}C$ 中做 $CV//A_{1}P$，连接 $A_{1}V$，则四边形 $A_{1}PCV$ 是平行四边形，故一定有 $A_{1}P//$ 平面 $AC{D}_1$；故 ②正确；

对于③，采用特殊位置法，当点 $P$ 移动到点 $B$ 和点 $C_1$，$DP$ 和 $B{C}_1$ 都是面对角线，如果再连接 $C_{1}D$(或 $BD$)，则 $DP$ 和 $B{C}_1$ 的夹角为 $60^{\circ }$，故③错误；

对于④，我们已经积累了体对角线 $B_{1}D\perp$ 平面 $A{D}_{1}C$，又 $B_{1}D\subset$ 平面 $PD{B}_1$，则平面 $PD{B}_1\perp$ 平面 $AC{D}_1$，故 ④正确，

综上所述， ①②④ 正确；

【2024高一训练题目】如图，点 $M$ 是棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}^{}$