背包问题之混合背包问题

即前面三种背包问题混合起来，也就是说，有些物品只能取一次，有些物品可以取无限次，而有些物品可以取的次数有一个上限。问题描述如下：有n个物品，第 i 个物品的重量与价值分别为 $w [i]$ 与 $v [i]$ 且第 i 种物品最多有 p[i] 件（其中 p[i]=0表示完全背包，p[i]=1表示0-1背包，剩下就表示多重背包问题。注意0-1背包问题是多重背包问题的特例）。背包容量为 V，试问如何让背包装入的物品具有更大的价值总和（物品必须保持完整）。现有数据如下：

w = [2,3,4,5,6,7,8];
v = [3,4,5,6,7,8,9];
p = [1,1,0,0,1,3,4];
V = 27;

解题思路：结合上面三种背包问题，令 $d p [i] [j]$ 表示前 i 中物品放入容量为 j 的背包的最大价值，那么 $max\{dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k*w[i] \le j\}, j=v,v_1, \cdots, V =>完全背包$ 或 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k \& k*w[i] \le j\},j=V,\cdots,v_1,v =>多重背包$ ，即

$dp[j]=max\{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]\} where j=v,v_1,\cdots,V$ 以及 $dp[k]=max\{dp[k],dp[k-j*w[i]]+j*v[i]\}where j = 1,2,4,\cdots,2^m amd 1+2+4+\cdots+2^m <= p[i]$ 。

    public int knapsackProblem(int[] w, int[] v, int[] p, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            if (p[i] == 0) {
                for (int j = w[i]; j <= cap; j++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
                }
            } else {
                for (int j = 1; j <= p[i]; p[i] -= j, j <<= 1) {
                    for (int k = cap; k >= 0 && k >= j * w[i]; k--) {
                        dp[k] = Math.max(dp[k], dp[k - j * w[i]] + j * v[i]);
                    }
                }
                if (p[i] > 0) {
                    for (int j = cap; j >= p[i] * w[i]; j--) {
                        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - p[i] * w[i]] + p[i] * v[i]);
                    }
                }
            }
        }
        return dp[cap];
    }

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