集合的概念

通常将一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体称为集合，而将这些事件称为集合的元素。集合的元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分。

集合的特点：
（1）集合中的元素是确定的。
（2）集合中的每个元素是可以互相区分开的。
（3）组成一个集合的每个元素在该集合中是无次序的，可以任意列出。
（4）集合的元素可以是任何事物，甚至是某个一集合。
（5）集合元素的个数没有限制，它可以是有限个也可以是无限个

有限集合：集合内元素个数有限（有限集合 A 中所含元素的个数记作 |A| ）
无限集合：集合内元素个数无限

集合 与 元素 之间存在属于“ $\in$ ”或不属于“$\notin$”关系

集合的表示方法

1.列举法，是列出集合的所有元素，并用花括号括起来

例如： A = { a , b , c , d } 、 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } 、 S = { a , b , c , . . . , z } A=\{a,b,c,d\}、N=\{0,1,2,3,...\}、S=\{a,b,c,...,z\} A={a,b,c,d}、N={0,1,2,3,...}、S={a,b,c,...,z}

2.描述法，是将集合中元素的共同属性描述出来

例如： B = { x ∣ x 2 − 1 = 0 且 x ∈ R } 、 D = { x ∣ x 是 正 整 数 } B=\{x|x^2-1=0且x\in R\}、D=\{x|x是正整数\} B={x∣x2−1=0且x∈R}、D={x∣x是正整数}

3.文氏图法(图示法)，是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的元素

常见的几个集合用特定的符号表示如下：
1.自然数集合 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } N=\{0,1,2,3,...\} N={0,1,2,3,...}
2.整数集合 Z = { . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } Z=\{...,-2,-1,0,1,2,...\} Z={...,−2,−1,0,1,2,...}
3.有理数集合 Q = { x ∣ x 是 有 理 数 } Q=\{x|x是有理数\} Q={x∣x是有理数}
4.实数集合 R = { x ∣ x 是 实 数 } R=\{x|x是实数\} R={x∣x是实数}
5.复数集合 C = { x ∣ x = a + b i , a , b ∈ R , i = − 1 } C=\{x|x=a+bi,a,b\in R,i=\sqrt {-1}\} C={x∣x=a+bi,a,b∈R,i=−1 ​}

集合之间的关系

对任意两个集合$A$和$B$，若$A$中的每个元素都是$B$中的元素，则称$A$是$B$的子集，记作$A\subseteq B$或$B\supseteq A$。
若$A$是$B$的子集，也称$B$包含$A$，或$A$被$B$包含。
若$A$不是$B$的子集，即$A\subseteq B$不成立，则记作$A⊈B$。
自然数集合$N$、有理数集合$Q$、实数集合$R$之间有关系$N\subseteq Q\subseteq R$。
对任意两个集合$A$和$B$，若$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，则称$A$与$B$相等，记作 $A=B$ ，若$A$与$B$不相等，则记作 $A\ne B$ 。
对任意两个集合$A$和$B$，若$A\subseteq B$且$A\ne B$，则称$A$为$B$的真子集，记作$A\subset B$ 或 $B\supset A$。
若$A$不是$B$的真子集，则记作(符号打不出来，实际没有下面那条横杠)$A⊈B$。
自然数集合$N$、有理数集合$Q$、实数集合$R$之间有关系$N\subset Q\subset R$。

包含关系具有下面一些重要性质：
1.自反性：对于任意集合$A$，有$A\subseteq A$
2.反对称性：对任意两个集合$A$和$B$，若$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，则$A=B$
3.传递性：对任意3个集合$A、B、C$，若$A\subseteq B，B\subseteq C$，则$A\subseteq C$

特殊集合：

空集、全集、幂集是3个特殊集合，它们在集合论中的地位非常重要。

不含任何元素的集合为空集，记作$\varnothing$，空集是惟一的，它是任何集合的子集。

含有$n$个元素的集合简称$n$元集，它的含有$m(m\le n)$个元素的子集叫做它的$m$元子集。

任给一个$n$元集，可用下列方法求出它的全部子集：
例：设$A=0,1,2$，写出$A$的全部子集：
解 将$A$的子集分类如下：
0元子集，即空集：$\varnothing$
1元子集，即单元集： { 0 } , { 1 } , { 2 } \{0\},\{1\},\{2\} {0},{1},{2}
2元子集： { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } \{0,1\},\{0,2\},\{1,2\} {0,1},{0,2},{1,2}
3元子集： { 0 , 1 , 2 } \{0,1,2\} {0,1,2}

一般来说，对于$n$元集$A$，它的0元子集有$C_n^0$个，1元子集有$C_n^1$个，… m元子集有$C_n^m$个，… n元子集有$C_n^n$个，全部子集有$C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n$个。

在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作$E$。

设$A$是一个集合，由$A$的所有子集组成的集合，称为$A$的幂集，记作 $P(A)$或$2^A$。也可写成 P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A)=\{x|x \subseteq A\} P(A)={x∣x⊆A}。若集合 $A$ 是由 $n$ 个元素所组成的有限集合，即 $|A|＝n$ ，则幂集是由$2^n$个元素组成，即$|P(A)|=2^n$。
对任意集合$A$，有$\varnothing \subseteq A$和$A\subseteq A$，因此有$\varnothing \in P(A)$和$A\in P(A)$。

集合的基本运算

两个集合 $A$ 和 $B$ 之间存在并$\cup$、交$\cap$、差$－$、补$\sim$和对称差$\oplus$等五种运算，通过这些运算就能得到新的集合。

1. 并集 A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A \cup B = \{x|x \in A 或 x \in B\} A∪B={x∣x∈A或x∈B} 由$A$和$B$的所有元素组成的集合
2. 交集 A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A \cap B = \{x|x \in A 且 x \in B\} A∩B={x∣x∈A且x∈B} 由$A$和$B$的公共元素组成的集合
3. 差集 A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A-B=\{x|x \in A 且 x\notin B\} A−B={x∣x∈A且x∈/​B} 由属于$A$而不属于$B$的所有元素组成的集合
4. 补集 ∼ A = { x ∣ x ∈ E 且 x ∉ A } \sim A=\{x|x \in E 且 x \notin A\} ∼A={x∣x∈E且x∈/​A} 由属于全集$E$且不属于$A$的元素组成的集合
5. 对称差$A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$ 由分别属于$A$和$B$的元素但不属于它们公共元素组成的集合

由以上定义可以推出以下关系式：
$$\begin{gathered} A\subseteq A\cup B,B\subseteq A\cup B, \\ A\cap B\subseteq A,A\cap B\subseteq B, \\ A\cap B\subseteq A\cup B, \\ A-B=A\cap \sim B \end{gathered}$$

集合运算的性质

下面以恒等式的形式给出集合运算满足的主要运算律，其中$A、B、C$是任意集合和$E$是全集。
1.交换律$$\begin{gathered} A\cup B=B\cup A \\ A\cap B=B\cap A \end{gathered}$$
2.结合律$$\begin{gathered} (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C) \\ (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C) \end{gathered}$$
3.分配律$$\begin{gathered} A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \end{gathered}$$
4.幂等律$$\begin{gathered} A\cup A=A \\ A\cap A=A \end{gathered}$$
5.同一律$$\begin{gathered} A\cup \varnothing =A \\ A\cap E=A \end{gathered}$$
6.零律$$\begin{gathered} A\cup E=E \\ A\cap \varnothing =\varnothing \end{gathered}$$
7.补余律$$\begin{gathered} A\cup \sim A=E \\ A\cap \sim A=\varnothing \end{gathered}$$
8.吸收率$$\begin{gathered} A\cup (A\cap B)=A \\ A\cap (A\cup B)=A \end{gathered}$$
9.德摩根律$$\begin{gathered} A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C) \\ A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C) \\ \sim (B\cup C)=\sim B\cap \sim C \\ \sim (B\cap C)=\sim B\cup \sim C \\ \sim \varnothing =E \\ \sim E=\varnothing \end{gathered}$$
10.双补率$$\sim (\sim A)=A$$

对称差运算也有类似的性质：
11.交换律$A\oplus B=B\oplus A$
12.结合律$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$
13.分配律$A\cap (B\oplus C)=(A\cap B)\oplus (A\cap C)$
14.同一律$A\oplus \varnothing =A$
15.零律$A\oplus A=\varnothing$
16.$A\oplus (A\oplus B)=B$

有限集合的计数

计算有限集合中元素的个数就是有限集合的计数问题。
假设$A$是一个有限集合，$|A|$表示有限集合$A$中元素的个数。

定理：对任意两个有限集合$A$和$B$，则：
∣ A ∪ B ∣ ≤ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ ∣ A ∩ B ∣ ≤ m i n { ∣ A ∣ , ∣ B ∣ } ∣ A − B ∣ ≥ ∣ A ∣ − ∣ B ∣ ∣ A ⊕ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − 2 ∣ A ∩ B ∣ |A \cup B|≤|A|+|B|\\ |A \cap B|≤min\{|A|,|B|\}\\ |A-B|≥|A|-|B|\\ |A \oplus B|=|A|+|B|-2|A \cap B| ∣A∪B∣≤∣A∣+∣B∣∣A∩B∣≤min{∣A∣,∣B∣}∣A−B∣≥∣A∣−∣B∣∣A⊕B∣=∣A∣+∣B∣−2∣A∩B∣

在计数时，为了使若干集合重叠部分的元素的个数不被重复计算，人们研究出一种计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于这些集合中的所有元素个数先分别计算出来，然后再把计数时重复计算的元素个数排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥定理。

容斥定理（简单情况）：
对任意两个有限集合 $A$ 和 $B$ ，有
$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
其中，$|A|、|B|$分别表示 $A$ ，$B$ 的元素个数

推广结论：对于任意三个有限集合 $A,B,C$ ，有
$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

进一步推广到$n$个集合的情况，若$n$是自然数，且$n>1，A_1,A_2,A_3,...,A_n$为有限集合，则$$\begin{gathered} |A_1\cup A_2\cup A_3\cup ...\cup A_n|= \\ \sum _{i=1}^n|A_i|-\sum _{1\le i<j\le n}|A_i\cap A_j|+\sum _{1\le i<j<k\le n}|A_i\cap A_j\cap A_k|+...+(-1{)}^{n-1}|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n| \end{gathered}$$