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13 图形数据结构(Graph)

S1 说明

图形数据结构是一种重要的数据结构，用于表示一组对象（称为顶点或节点）之间的关系（称为边）。图的应用广泛，常见于社交网络、网络路由、推荐系统等领域。

图的基本概念

• 顶点（Vertex）：
  图中的基本单位，表示一个对象。
• 边（Edge）：
  连接两个顶点的线，表示它们之间的关系。
• 有向图与无向图：
  • 有向图（Directed Graph）：边有方向，从一个顶点指向另一个顶点。
  • 无向图（Undirected Graph）：边没有方向，连接的两个顶点是对称的。
• 加权图与非加权图：
  • 加权图（Weighted Graph）：边有权重，表示连接两个顶点的代价或距离。
  • 非加权图（Unweighted Graph）：边没有权重，所有边被视为相同。

图的基本特征

1. 连通性

• 连通图：图中任意两个顶点之间都有路径相连。
• 非连通图：至少存在一个顶点无法通过路径到达其他顶点。

2. 度

• 顶点度（Degree）：与一个顶点相连的边的数量。
• 入度（Indegree）：有向图中指向某个顶点的边的数量。
• 出度（Outdegree）：有向图中从某个顶点出发的边的数量。

3. 子图

• 子图：由图的部分顶点和边组成的图，可以是有向的或无向的。

4. 环与无环

• 环（Cycle）：路径的开始和结束顶点相同，且至少包含一个边。
• 无环图（Acyclic Graph）：不包含任何环的图。常见的无环图有树（Tree）。

5. 图的类型

• 完全图（Complete Graph）：每一对不同的顶点都有一条边相连。
• 平面图（Planar Graph）：可以在平面上绘制而不交叉的图。

6. 图的连通分支

• 连通分支：在非连通图中，每个连通子图称为一个连通分支。

7. 图的权重

• 权重：边的值或成本，通常用于加权图，表示连接两个顶点的代价或距离。

8. 拓扑排序

• 对于有向无环图（DAG），可以对顶点进行线性排序，使得每条边的起点在终点之前。

9. 连通性指标

• 聚类系数（Clustering Coefficient）：衡量图中顶点聚集程度的指标。
• 直径（Diameter）：图中最长的最短路径的长度。

10. 图的同构性

• 同构图（Isomorphic Graphs）：两个图的结构相同，即存在一一对应的顶点关系，使得对应的边也相连。

图的基本操作

• 添加顶点：
  在图中添加新的顶点。
• 添加边：
  在两个顶点之间添加边。
• 删除顶点：
  从图中删除一个顶点及其相关边。
• 删除边：
  从图中删除两个顶点之间的边。
• 查找顶点
  检查图中是否存在某个顶点
• 查找边
  检查两个顶点之间是否存在边
• 遍历图
  使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）遍历图
• 获取邻接顶点
  获取与指定顶点相连的所有顶点。
• 计算图的度
  计算一个顶点的度（与之相连的边的数量）

S2 典型图数据结构示例

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

# 示例：邻接矩阵
V = 4  # 顶点数量
adj_matrix = [[0] * V for _ in range(V)]

# 添加边
adj_matrix[0][1] = 1  # 从顶点0到顶点1的边
adj_matrix[1][0] = 1  # 从顶点1到顶点0的边（无向图）

邻接表（Adjacency List）

# 示例：邻接表
adj_list = {
   
    0: [1],
    1: [0, 2],
    2: [1],
    3: []
}

边列表（Edge List）

# 示例：边列表
edge_list = [
    (0, 1),
    (1, 2),
    (2, 1