章节一：时域上的OFDM
OFDM的"O"代表着"正交"，那么就先说说正交吧。
首先说说最简单的情况，sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，而正弦函数又是波的最直观描述，因此我们就以此作为介入点。既然本文说的是图示，那么我们就用图形的方式来先理解一下正交性。【你如果能从向量空间的角度，高屋建瓴的看待这个问题的话，你也就不是"小白"了，R U?】
在下面的图示中，在[0,2π]的时长内，采用最易懂的幅度调制方式传送信号：sin(t)传送信号a，因此发送a·sin(t)，sin(2t)传送信号b，因此发送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，在本文中一律称为子载波；调制在子载波上的幅度信号a和b，才是需要发送的信息。因此在信道中传送的信号为a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分别对接收到的信号作关于sin(t)和sin(2t)的积分检测，就可以得到a和b了。（以下图形采用google绘制）
图一：发送a信号的sin(t)
图二：发送b信号的sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】
图三：发送在无线空间的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)
图四：接收信号乘sin(t)，积分解码出a信号。【如前文所述，传送b信号的sin(2t)项，在积分后为0】
图五：接收信号乘sin(2t)，积分解码出b信号。【如前文所述，传送a信号的sin(t)项，在积分后为0】
图六：流程图
到了这里，也许你会出现两种状态：
一种是：啊，原来是这样，我懂了。
一种是：啊，怎么会这样，我完全无法想象。这里要说的是，你根本用不着去想象（visualize）。数学中是如此定义正交的，数学证明了它们的正交性，那么他们就是正交的，【他们就可以互不干扰的承载各自的信息】。选取sin(t)和sin(2t)作为例子，正是因为它们是介于直观和抽象的过渡地带，趟过去吧。
上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。
1.1 下一步，将sin(t)和sin(2t)扩展到更多的子载波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，应该是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf是事先选好的载频间隔，也是常量。1t,2t,3t,...,kt保证了正弦波序列的正交性。
1.2 再下一步，将cos(t)也引入。容易证明，cos(t)与sin(t)是正交的，也与整个sin(kt)的正交族相正交。同样，cos(kt)也与整个sin(kt)的正交族相正交。因此发射序列扩展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。
1.3 经过前两步的扩充，选好了2组正交序列sin(kt)和cos(kt)，这只是传输的"介质"。真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,...,ak信号,cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,...,bk信号。这2n组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下：
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
...
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
...
bk·cos(2π·Δf·kt) +
= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：实数的表达】
为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式如下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：复数的表达，这编辑器找不到上角标...不过，你应该看得懂的】
上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是f(t)。接收端收到杂糅信号f(t)后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。
然后，多看看公式1-1和公式1-2！！！发现咯？这就是傅里叶级数嘛。如果将t离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有OFDM以FFT来实现的故事。将在下面的章节进行更多的描述。
遵循古老的传统，F表示频域，f表示时域，所以可以从公式1-2中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM传输的是频域信号。这种说法有些别扭，但是很多教程或文章会使用这样的说明方式，就看读者如何理解了。如果纯粹从公式或者子载波来看，这种说法其实也是很直接的阐述了。
上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：
图七：时域上的OFDM系统图
1.4 还有这一步吗？其实是有的。"小白"你可以先想想，想不到的话先往下看，因为这需要在频域中考量，所以我写在后面了。【也可参考[1]】
将上述的时域分析配上LTE的实现，有如下情况：
【注1：本段描述需要有LTE物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时跳过，看完整篇文章后再回看】
【注2：LTE并非时域的实现，下面仅仅是套用LTE的参数，做一个参考分析】
子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us，可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。对于10M的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个（不含最中间的直流）子载波被用于传送数据。在一个OFDM symbol的时间内（即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。
上面的说法有点啰嗦，不如图示来得直观。本来准备再画一图的，不过一来上面已经有了类似的图，实是大同小异；二来，600个子载波，也太多了点。。。
OK，说到这里，从时域上面来看OFDM，其实是相当简洁明快讨人喜欢的。不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。这点在各种教材文章中都会有提及，我就不赘述了。
下面将转入频域来描述OFDM，由于频域不甚直观，的确会稍稍让人费解。不过只要时刻想着时域子载波间的叠加，一切都会好起来。
章节二：频域上的OFDM
第一章节时域上的讨论开始于OFDM中的"O"；本章节频域上我们从"FDM"开始。
先图例一个常规FDM的系统图：
图11：常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰
为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。
图12：靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了
还能再近些吗？可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值。
图13：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。神奇的OFDM
上面三个图的确有点小儿科，不知道"小白"是不是已经在心里呐喊：这谁不知道呀！不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的：
a. 作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下OFDM在频域上面的表现，亦即OFDM的本源来历。
b. 引导思考：信号的带宽是多少？
c. 引导思考：OFDM正交频谱叠加部分到底有多宽呢？结合1.4，先想想，再往下看，会更好。
再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。
首先来看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且说说sin(t)的频谱是啥呀？"小白"弱弱的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。
对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：
图21：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱
sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
图22：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱
将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：
图23：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱
图23和图13，均是频域上两个正交子载波的频谱图。比一下，发现了吗？不太一样！
是的，想必你已经想起来了，这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图23所示的信号就会被修理成图13所示的信号了。这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。这也是1.4中没有提及的，更多的可参考[1]
贴士：脉冲成型滤波器作用于频域，可以"看作"时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号就OK咯。
这里用到的是奈奎斯特第一准则，在下面的框框内会稍作描述：
| 奈奎斯特第一准则请自行google，这里说说其推论：码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。 对于理想低通信道，奈奎斯特带宽W = 1/(2T) 对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W = 1/T 在下面的图31中，可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W（低通的1/(2T)或者带通的1/T）的，这就是理想和现实的距离。 补充说明：本文提到的"带宽"，也即约定俗成的带宽理解方式，指的是信号频谱中>=0的部分。在从低通到带通的搬移过程中，因为将原信号负频率部分也移出来了（也可理解为同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的结果，见参考[2]）【注：没有上角标和下角标的编辑器，真不爽。不过，你应该看得懂的】，所以带宽翻倍了。如下图所示：  图31：内涵丰富的图，请参看上面和下面的说明文字 |
上面专门用框框列出奈奎斯特第一准则，还有一个重要目的就是说明下频带利用率的问题。频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。
理想情况下，低通信道频带利用率为2Baud/Hz；带通信道频带利用率在传输实数信号时为1Baud/Hz，传送复数信号时为2Baud/Hz（负频率和正频率都独立携带信号）。由于讨论低通信道时往往考虑的是实数信号，而讨论带通信道时通常考虑的是复数信号，因此可以简单认为：理想情况下，信道的频带利用率为2Baud/Hz。
实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。
【说到这里，终于可以图穷匕见了】而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说（在不考虑最旁边的两个子载波情况下），OFDM达到了理想信道的频带利用率。
图32：OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率
将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：
【注：本段描述需要有LTE物理层的基本知识】
子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM symbol携带600个复数信息，因此：
1. 从整个系统来看，波特率为600*14*2/1ms = 16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】
2. 单从OFDM一个symbol来看，波特率为600*2/66.7us = 18MBaud，占据带宽600*15kHz=9MHz【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。
附：5M带宽的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】
章节三：用IFFT实现OFDM
其实前两章，我已经将自己的理解尽数表达了：第一节是从时域上来说子载波正交的原理；第二节是从频域上来解释子载波正交后，达到理想频带利用率的特性。想来，虽然前两章写得较长【没预料到会写这么长的...太长了没人看...】，但是应该还是很简单、清晰、易懂的。
不过"小白"的卡壳，似乎并不在于最基本的正交原理和频带利用率上，反而是IFFT变换中，充斥的各种时域频域角色变换让其眼花缭乱。
个人觉得要理解IFFT实现OFDM，最好的办法还是看公式。比如第一章节中的公式1-1和公式1-2，配上时域波形图的叠加，不要太好理解哟。当然，这里的IFFT需要将时域离散化，因此公式IFFT ≈ IDFT -->
fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n为时域离散后的序号，N为总的IFFT个数，n∈[1,N]】
关于公式3-1的理解方法，可以是这样的。其中一种理解方式是联系第一章节的公式1-2：可以发现公式3-1等号右侧所表达的物理意义和公式1-2是相同的，均代表了不同子载波e(j·2π·k·n/N)发送各自的信号Fk，然后在时域上的叠加形成fn，只不过现在叠加出来的时域不是连续波形，而是离散的时序抽样点。
另一种更容易，更可爱的理解方式是：在一个OFDM symbol的时长T内，用N个子载波各自发送一个信号F(k)（k∈[1,N]），等效于直接在时域上连续发送fn（n∈[1,N]）N个信号，每个信号发送T/N的时长。
在IFFT实现OFDM中，发送端添加了IFFT模块、接收端添加了FFT模块。IFFT模块的功能相当于说：别麻烦发送N个子载波信号了，我直接算出你们在空中会叠加成啥样子吧；FFT模块的功能相当于说：别用老式的积分方法来去除其余的正交子载波了，我帮你一次把N个携带信号全算出来吧。就是这样，IFFT实现OFDM的系统用"数学的方法"，在发送端计算信号的叠加波形，在接收端去除正交子载波，从而大大简化了系统的复杂度。
图八：用IFFT实现OFDM。请自行对比图七
最后说一句："小白"乃"白富美"之"白"，非"一穷二白"之"白"也。
好吧，该结束了。再写得长了更没人看了。
补充章节：从频谱上来看正交性
要弄清楚信号的含义，可以将整个物理层信号传输的过程给分解开来，可以看到，不同的步骤对信号的处理是不同的。
信源编码着重于对信号的容量进行压缩，提高传输效率（比特流）；
信道编码针对多变的信道插入冗余信息，增加传输的稳定性（比特流）；
信号调制则是将比特流转成了特定的波形进行传输，根据调制方式的不同，即可能是一个比特对应一个波形，也有可能是数个比特对应一个波形（高阶调制）。所以有个问题说不知道0对应什么波形，1对应什么波形，是因为没弄清调制过程。 在采用比如QAM64调制后，出来的symbol就是复数了，这也是复数信号的来历。一般的文章会将一个symbol看作一个输入来看待和讨论下面的步骤，而我这篇文章因为是从sin和cos入手来讨论正交性的，因此我这篇文章中将一个symbol看成了两个实数，故而在讨论信道利用率时和主流“结论”有点出入，但其实是各自的假设不同而已。
在实际的系统中，QAM symbol 进行了针对天线阵列的precoding和资源分配的mapping后，就会进入OFDM调制了（就是上面图八的一站式IFFT计算）
继续补充：关于负频率
参考[1]: Wireless Communications, Andrea Goldsmith - 12.2 Multicarrier Modulation with Overlapping Subchannels
参考[2]: Principles of Digital Communication - Gallager - 6.4.1 Double-sideband amplitude modulation