1. 极限
（1）定义
A
为
f
(
z
)
当
z
趋
于
z
0
时
的
极
限
，
记
作
A为f(z)当z趋于z_0时的极限，记作
A为f(z)当z趋于z0时的极限，记作
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
A
\lim_{z \to z_0} f(z) = A
z→z0limf(z)=A
（2）判断
① 定 义 法 ~~~~~~~~①定义法 ①定义法
lim z → z 0 f ( z ) = A \lim_{z \to z_0} f(z) = A z→z0limf(z)=A
不一定局限于坐标表示法的复数，对于有除法的极限可以用三角表示法证明极限。
② 定 理 法 ~~~~~~~~②定理法 ②定理法
已
知
f
(
z
0
)
=
u
0
+
i
v
0
，
有
~~已知f(z_0) = u_0 + iv_0，有
已知f(z0)=u0+iv0，有
lim
x
→
x
0
y
→
y
0
u
(
x
,
y
)
=
u
0
,
lim
x
→
x
0
y
→
y
0
v
(
x
,
y
)
=
v
0
\lim_{x \to x_0~~y\to y_0}u(x,y) = u_0,\lim_{x \to x_0~~y\to y_0}v(x,y) = v_0
x→x0 y→y0limu(x,y)=u0,x→x0 y→y0limv(x,y)=v0
则
极
限
存
在
。
~~则极限存在。
则极限存在。
（3）性质
lim z → z 0 ( f ( z ) ± g ( z ) ) = A ± B \lim_{z \to z_0}(f(z)\pm g(z)) = A\pm B z→z0lim(f(z)±g(z))=A±B
lim z → z 0 ( f ( z ) g ( z ) ) = A B \lim_{z \to z_0}(f(z)g(z)) = A B z→z0lim(f(z)g(z))=AB
lim z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}= \frac{A}{B}~~(B\ne 0) z→z0limg(z)f(z)=BA (B=0)
若 复 函 数 极 限 存 在 ， 则 lim x → x 0 y → y 0 u ( x , y ) = u 0 , lim x → x 0 y → y 0 v ( x , y ) = v 0 若复函数极限存在，则\lim_{x \to x_0~~y\to y_0}u(x,y) = u_0,\lim_{x \to x_0~~y\to y_0}v(x,y) = v_0 若复函数极限存在，则x→x0 y→y0limu(x,y)=u0,x→x0 y→y0limv(x,y)=v0
2. 连续
（1）定义
若
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
,
\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0),
z→z0limf(z)=f(z0),
则
称
f
(
z
)
在
z
0
处
连
续
。
则称f(z)在z_0处连续。
则称f(z)在z0处连续。
（2）判断
已 知 f ( z 0 ) = u 0 + i v 0 已知f(z_0) = u_0+i~v_0 已知f(z0)=u0+i v0
①
定
义
法
~~~~~~~①定义法
①定义法
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
,
\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0),
z→z0limf(z)=f(z0),
②
定
理
法
~~~~~~~②定理法
②定理法
u
(
x
,
y
)
和
v
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处
连
续
，
则
f
(
z
)
在
z
0
处
连
续
。
u(x,y)和v(x,y)在(x_0,y_0)处连续，则f(z)在z_0处连续。
u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续，则f(z)在z0处连续。
（3）性质
- 🍳两个连续函数的和、差、积仍是连续函数；当分母不为0时，商也是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
- 在有界闭区域D上的连续函数f(z)是有界的。
- 有界闭曲域D上的连续函数f(z)，在D上其模至少取得最大值喝最小值各一次。
- 有界闭曲域D上的连续函数f(z)在D上是一致连续的，即任意给