Beaver三元组：主要用于安全多方计算协议中的乘法计算。应用范围为加法和乘法均为线性的秘密分享机制。它的通信和计算都在协议开始之前进行，只需要在使用时准备好三元组。

     假设需要分享的秘密为𝑎、𝑏，参与者𝑃𝑖获得的𝑎、𝑏的子秘密为𝑎𝑖、𝑏𝑖。

      加法秘密分享机制为线性的意思为：存在一组常数𝜆1, 𝜆2,…,𝜆𝑛，使得：

将其抽象简记为：

      乘法秘密分享机制为线性的意思为：存在一组常数𝜆1, 𝜆2,…,𝜆𝑛，使得：

将其抽象简记为：

三元组乘法的主要流程：

          1.随机产生一个三元组：[a],[b],[c].其中a,b对所有参与者保密，c=a·b。假设秘密x和y已经被分享，现在需要计算[x,y].

          2

         .

           因为 [𝛼] 和 [𝛽] 已公开，因此所有参与者都可以通过秘密重构函数独立计算出𝛼和𝛽。又因为：

由于[𝑎],[𝑏],[𝑐]是预先产生和分配的三元组，因此在乘法计算时参与者只需要本地计算[𝛼]=[𝑥]−[𝑎]和[𝛽]=[𝑦]−[𝑏]，并对计算结果[𝛼]和[𝛽]进行公开。而对于上次叙述的BGW协议，在计算乘法时，需要每一个参与者计算[𝑎]∙[𝑏]，之后对[𝑎]∙[𝑏]进行秘密共享，将子秘密分别发送给其他所有参与者。Beaver三元组是消耗性，每次乘法计算都会消耗一个Beaver三元组，通过预先计算的Beaver三元组，将通信量和计算量移到了协议开始之前。 

BMR协议：将姚式混淆电路从俩方扩充到多方情景。

具体而言，需要每个参加者随机生成每条导线的加密值，之后将自己生成的加密值进行掩盖后提交到多方计算协议，协议将每个参与者提交的关于同一条导线加密值进行异或，得到多方协同生成的布尔电路中该条导线的加密值。

BMR协议具体如下：

1.协议根据需要实现的目标函数生成布尔电路𝒞，并向所有参与者公开。将电路𝒞中的各条导线分别标记为𝑤1,𝑤2,…,𝑤t。协议参与者为𝑃1,𝑃2,…,𝑃𝑛，其输入分别为𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛∈ {0,1}。

2对于布尔电路𝒞中的每一个门𝐺𝑖，所有参与者共同参与一个计算乱码表的多方安全计算协议

.

3.

假设电路𝒞中门𝐺𝑖的输入导线为𝑤𝑎, 𝑤𝑏，输出导线为𝑤𝑐。门𝐺𝑖实现的函数为𝑤𝑐= 𝑔(𝑤𝑎,𝑤𝑏)。 

计算指针比特：

并设置：

同理，对所有参加者提交的翻转比特求异或，

得到翻转比特𝑓𝑎,𝑓𝑏,𝑓𝑐，翻转比特用于掩盖参与者𝑃𝑖的输入，使得𝑃𝑖无法得知其对每条导线加密值的具体贡献。 

接着创建门𝐺𝑖的乱码表，让𝑣𝑎, 𝑣𝑏分别是导线𝑤𝑎, 𝑤𝑏, 的输入，对于𝐺𝑖输入𝑣𝑎,𝑣𝑏∈{0,1}，一共只有四种可能的组合。

让𝑣𝑐是导线𝑤𝑐的真实输出值，𝑒𝑣𝑎,𝑣𝑏是导线𝑤𝑐的加密值。设定

即𝑒𝑣𝑎,𝑣𝑏共有四个可能的值，如下表所示：

其中，即将各个和, 进行级联。之后对乱码表中𝑒𝑣𝑎,𝑣𝑏的条目进行重新排序，并将条目𝑒𝑣𝑎,𝑣𝑏放在的位置上。 

向参与者𝑃1输出计算得到的乱码表，向𝑃1发送各个参与方的输入𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛所对应的电路𝒞的加密导线值。

[本下节看不懂，请大佬自行去矩阵元公众号了解：https://mp.weixin.qq.com/s/vN4XlClZUASYM46u9urRBw]