你什么都没有

你只有思想

应该会有很多模友在开始学习数学分析和高等数学时，第一反应是：

但其实大多数人所用的教材，从大众角度看还没有到一种极致精确的架构数学的程度。

大多数的教材所做的还是“我教会你怎么弄这个东西就行了，别怨我了啊乖”的活。

但是，Zorich和Terence Tao（陶哲轩）都不约而同地花了大量笔墨去阐述人们如何建立起实数体系。

在这个过程中，出现了非常多的经典的证明题，关于这样的题目，有一个词语可以显示他们的价值“基石”。

以及，他们都在后面的篇章开始讨论了度量空间和拓扑的相关内容，所谓大师所见略同，大致如此。

那么，为什么呢？

数系，从头说起

柯朗尼克有句名言：“上帝创造了自然数，其他一切都是人造的。”

这样的说法可能有些偏激，但的确说明了问题。

我们有了0，1，我们懂得不断累加，于是自然数出现了。

没错，这个时候我们只会加法，但其实我们懂得更多，比如：数学归纳法。

利用这个归纳法可以得出几乎所有自然数的代数法则，以及不少漂亮的结论，比如：

构造出序的概念（比较大小，注意不要忘了，此时我们只有自然数和加法，我们不知道怎么比较大小，这一点非常关键：如果你想要看到本质，你必须把一切全部抛弃，然后要做的就是至繁归于至简，这似乎类似于张无忌学太极功的故事。），这个证明是非常琐碎的，但本质上他只需要归纳法和加法法则的定义。

通过加法，我们自然的考虑相反的情形（注意，这样的试探性思考非常关键），于是“学会”了减法，从而自然的得到了负整数。

而不断的累加同一个数的过程中，我们学会了乘除法。有了除法，我们就可以构造出有理数了。

有理数有一个好的性质，稠密。

就是说有理数的可数可以通过不断取两个有理数的中点，（a+b）/2的过程去得到无穷多个有理数。

But incomplete！（嗯，语气可参考《A beautiful mind》里Nash发现均衡理论时那两句incomplete~）

几千年前就有毕达哥拉斯学派的人发现了根号2，到现在，根号2不是有理数的证明依然出现在各类数学分析的习题中（运用反证法即可）。

对于实数的构造是个困难的事情，也是数学系的学生学习数学分析的一个重点，但在此不多阐述。

必须说明的是，实数体系的架构可以非常好的说明数学家的工作模式，怎么选择公理（这在集合论上体现的非常明显，在对概括公理（axiom comprehension）抛弃上。），建立定理。

当然其实我们还有个初等的例子可以说明公理化体系的构建过程：欧几里德几何。

欧几里德几何

一个小插曲，我们学了12年的中小学数学，学到过证明的方法，提到过反证法和数学归纳法，可显然在中小学数学中这两个方法基本上不会考查，用这两个方法基本只会令问题变复杂。

然而这两种方法是极为重要的，并且被广泛运用的。

这在实数理论架构时体现明显，闭区间套定理，有限覆盖定理，极限点定理都不同程度的运用了反证法。

而数学归纳法普遍运用于自然数和整数的一些证明，比如运算法则的架构上。

而很多好的证明也涉及这两种证明，比如“质数有无穷多个”的证明就是一个非常古典和经典的反证法证明，然而我猜，大多数人在接受中小学教育时并不知晓这个十分初等的问题和证明（来自欧几里德），这个证明本身是让人眼前一亮的。