一.标量、向量、矩阵
1.标量
标量由只有一个元素的张量表示。
import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x**y
(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))
2.向量
向量视为标量值组成的列表。
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])
x[3] #通过张量的索引可以访问任一元素。
tensor(3)
我们可以通过调用Python的内置len()函数来访问张量的长度，也可以通过.shape属性访问向量的长度。
len(x)
4
x.shape
torch.Size([4])
3. 矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5, 4) #创建矩阵
A
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
A.T #矩阵的转置
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])# 创建对称矩阵
B
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
B == B.T #B与它的转置进行比较
tensor([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]])
二. 张量及其算法性质
就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构。张量（本小节中的“张量”指代数对象）为我们提供了描述具有任意数量轴的 n 维数组的通用方法。例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]]))
两个矩阵的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard product）（数学符号 ⊙ ）。
A * B
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])
将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],
[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]]),
torch.Size([2, 3, 4]))
三. 降维及非降维求和
1.降维
我们可以对任意张量进行的一个有用的操作是计算其元素的和。
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
矩阵 A 中元素的和可以记为
A.shape, A.sum()
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))
指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入的轴1的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis=[0, 1]) # Same as `A.sum()`
tensor(190.)
一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。
A.mean(), A.sum() / A.size
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
2.非降维求和
有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用。
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])
例如，由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。
A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和，比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]])
四. 矩阵乘法
1.点积
给定两个向量 x,y ，它们的点积（dotproduct）是相同位置的按元素乘积的和。
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积：
torch.sum(x * y)
tensor(6.)
2. 向量积
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
3.矩阵乘法
阵乘法 看作是简单地执行 m 次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个 n×m 矩阵。在下面的代码中，我们在A和B上执行矩阵乘法。这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]])
五. 范数
线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。非正式地说，一个向量的范数告诉我们一个向量有多大。 这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。
我们可以按如下方式计算向量的 L2 范数。
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
tensor(5.)
我们还会经常遇到 L1 范数，它表示为向量元素的绝对值之和。与 L2 范数相比， L1 范数受异常值的影响较小。为了计算 L1 范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。
torch.abs(u).sum()
tensor(7.)
L2 范数和 L1 范数都是更一般的 Lp 范数的特例。
类似于向量的 L2 范数，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根。弗罗贝尼乌斯范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的 L2 范数。 调用以下函数将计算矩阵的弗罗贝尼乌斯范数。
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
tensor(6.)