自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 算法详解与PyTorch实现

1. 自组织映射 (SOM) 算法概述

自组织映射（Self-Organizing Map, SOM）是一种无监督学习算法，由Teuvo Kohonen于1982年提出。SOM通过将高维数据映射到低维空间（通常是二维网格），能够有效地进行数据聚类、降维和可视化。SOM广泛应用于图像处理、语音识别、数据挖掘等领域。

1.1 无监督学习

无监督学习是一种从无标签数据中学习数据结构的机器学习方法。SOM通过竞争学习和邻域更新机制，能够自动发现数据的内在结构。

1.2 SOM的优势

• 降维与可视化：SOM能够将高维数据映射到低维空间，便于数据可视化。
• 聚类能力：SOM能够自动发现数据中的聚类结构。
• 拓扑保持：SOM能够保持输入数据的拓扑结构，相似的输入数据在映射空间中距离较近。

2. SOM的核心技术

2.1 SOM网络结构

SOM由输入层和输出层（竞争层）组成。输入层的神经元数量等于输入数据的维度，输出层的神经元通常排列成二维网格。

2.2 竞争学习

SOM通过竞争学习机制选择最佳匹配单元（Best Matching Unit, BMU）。BMU是与输入数据最相似的输出层神经元，其计算公式为：
$$\text{BMU}=\arg \underset{i}{\min }\Vert x-w_i\Vert$$
其中，$x$是输入数据，$w_i$是第$i$个输出层神经元的权重。

2.3 邻域更新

SOM通过邻域更新机制更新BMU及其邻近神经元的权重，其更新公式为：
$$w_i(t+1)=w_i(t)+\eta (t)\cdot h_{ij}(t)\cdot (x-w_i(t))$$