逆序数

逆序数的定义

一个排列中的某两个数字，如果前面的数大于后面的数，那么它们就是一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数用$\tau (j_1{j}_2...j_n)$表示，其中$j_1{j}_2...j_n$就是n个数字的一个排列。

【例1】	τ(1234) = 0，因为1234就是按大小顺序排的
【例2】	τ(2134) = 1，因为只有21是一对逆序。23，24，13，14，34都是顺序
【例3】	τ(4123) = 3，其中41，42，43是三个逆序，其他是顺序
【例4】	τ(4321) = 6 (= 3+2+1 = C42)

逆序数的一个重要性质

	上例中相比例1，例2相当于调换了1和2的位置；例3相当于调换了1和4的位置。
	在排列中调换了一对数，逆序数由偶数变为了奇数，这并非巧合。我们有以下结论：

在排列中如果调换两个数的位置，则逆序数的奇偶性发生改变。

行列式的定义

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2...j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2...j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$$

其中$j_1{j}_2...j_n$是$n$元排列，${\sum }_{j_1{j}_2...j_n}$ 表示对所有n元排列的情况求和。

行列式不但可以按列展开，也可以按行展开$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{i_1{i}_2...i_n}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2...i_n)}{a}_{i_{1}1}{a}_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$$
这意味着，在行列式中，行和列的地位是一样的！

【例1】二阶行列式

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

【例2】 上三角行列式

$$\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1,n-2}& a_{1,n-1}& a_{1n}\\ 0& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2,n-2}& a_{2,n-1}& a_{2n}\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & a_{3,n-2}& a_{3,n-1}& a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& a_{n-1,n-1}& a_{n-1,n}\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

行列式的性质

1. 行列互换（转置），行列式的值不变，即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

   这意味着行列式中行和列的地位是对称的。因此行列式有关行的性质，对于列也成立。
   

   ⭐ 接下来行的性质，对于列也成立！

2. 行列式中某一行的公因子可以提出行列式。即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

   写出定义式，将累加项里的因子k提出来即可证明。
   

3. 
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_1+c_1& b_2+c_2& \cdots & b_n+c_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_1& b_2& \cdots & b_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_1& c_2& \cdots & c_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

   由行列式定义和乘法分配律得到。
   

4. 两行互换，行列式反号。即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

    左边是 Σ(-1)^τ(j1...ji...jk...jn) * ...
    右边是 Σ(-1)^τ(j1...jk...ji...jn) * ...
    而排列中，两个数对换则逆序数的奇偶性改变。由此可推。
   

5. 两行相同，行列式的值为0。即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=0$$

    运用性质4，将相同的两行换一下得到 det = - det，因此det = 0.
   

6. 两行成比例， 行列式的值为0。即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=0$$

    由性质2和性质5得到。
   

7. 把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。即
   $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}+l{a}_{i1}& a_{k2}+l{a}_{i2}& \cdots & a_{kn}+l{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

    先利用性质3，再利用性质6即可推出。
   

这意味着计算行列式时可以用“消元法”，将行列式变成上三角行列式。