【学术小白成长之路】03三方演化博弈（基于复制动态方程）均衡点与稳定性分析、特征值求解

从本专栏开始，笔者正式研究演化博弈分析，其中涉及到双方演化博弈分析，三方演化博弈分析，复杂网络博弈分析等等。
先阅读了大量相关的博弈分析的文献，总结了现有的研究常用的研究流程，针对每个流程进行拆解。具体学习每个步骤中的步骤的实现方法和流程。基础性文章，希望对您有帮助，如果存在错误或不足之处，还请海涵。且看且珍惜!

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文章目录

1.均衡点计算
2.稳定性分析
3.稳定性及特征值求解MatLAB的代码实现
4. 单个均衡点特征值求解

1.均衡点计算

参与主体根据既得利益不断调整策略以追求自身利益的改善，最终达到动态平衡的策略称为演化稳定策略(ESS)。

在判定演化稳定策略之前首先要求出演化博弈的均衡点。令F(x)）=0、F(y)=0和F(z）=0，即系统策略选择的变化率为零时，可以得到该动力系统的均衡点。

在计算出均衡点之前，我们可以先构建出来雅可比矩阵，先不进行计算，用于后面将均衡点带入雅可比矩阵之中进行计算。

可以看出，雅可比矩阵就对应函数在x，y，z概率上的偏导。
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如某篇文章中所示，在计算出复制动态方程后，通过构建的复制动态方程，来构建雅克比矩阵。

这时候，我们令F(x)=0；F (y)=0；F (z)=0就可以计算出对应的xyz的组合，如（0，0，0）、（0，1，0）这样的组合均衡点。

一般会解出来很多这样的组合解，但是这样均衡点不一定具有稳定，还需要进一步计算。

2.稳定性分析

获取均衡点之后，就可以用到上文构建的雅可比矩阵

将求得的均衡点代入雅可比矩阵求此时矩阵对应的特征值

依据特征值，来判断均衡点的稳定性，一般文章中都是以特征值全负值的数为ESS点

如果特征值均小于0,则均衡点有渐进稳定性，为演化稳定策略；
若的特征值均大于0，则为不稳定点；
若特征值有1或2个大大0，则为鞍点:
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接下来，就可以进行模拟仿真的分析，可以借助Python，Matlab之内的工具进行实现

3.稳定性及特征值求解MatLAB的代码实现

syms x y z E1 C1 C2 G1 S1 E2 C3 G2 E3 S2 S3 C5;

% 定义方程
fx = x*(1 - x)*(E1 - C1 + y*(C2 + G1 + S1 - E2 + z*E2 - z*C2) + z*(C2 + G2 - E2));
fy = y*(1 - y)*(x*(z*E3 - z*E2 - G1 - S1) - C3 + G1);
fz = z*(1 - z)*(S2 + S3 - C5);

%雅可比矩阵
disp(['雅可比矩阵'])
A=[diff(fx,x) diff(fx,y) diff(fx,z);
  diff(fy,x) diff(fy,y) diff(fy,z);
  diff(fz,x) diff(fz,y) diff(fz,z)]

%(2〉求均衡点:首先构建等式数组，然后使用solve函数来计算均衡点，输出对应的均衡点，最后构建均衡点数
equ=[fx==0,fy==0,fz==0];
answ=solve(equ,[x,y,z]);

% 输出均衡点数组
disp(['均衡点:']);
A1 = [answ.x, answ.y, answ.z];
disp(A1);

% 均衡点个数
disp(['均衡点个数:']);
disp(length(answ.x));

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最后将均衡点代入雅可比矩阵当中，求此刻对应的特征值。

% 初始化结果矩阵
xz = [];

for j = 1:length(answ.x)
    disp(['第 ', num2str(j), ' 个均衡点: ']); % 显示当前均衡点的索引
    A1(j, :) = A(j, :); % 取出当前均衡点对应的矩阵行
    disp(['均衡点代入矩阵后的矩阵: ']); % 显示代入后的矩阵
    x1 = A1(j, 1); y1 = A1(j, 2); z1 = A1(j, 3); % 提取当前均衡点的值
    B = subs(A, [x y z], [x1 y1 z1]); % 用当前均衡点的值代入 A
    
    disp(['均衡点代入后对应矩阵的特征值: ']); % 提示显示特征值
    [V, R] = eig(B); % 计算特征值和特征向量
    B1 = R(1, 1); % 取特征值
    B2 = R(2, 2); % 取特征值
    B3 = R(3, 3); % 取特征值
    
    xz = [xz; B1, B2, B3]; % 将特征值组合在一起
end

% 为方便整理，以列的形式输出特征值
disp(['第一列特征值集合: ']); % 提示显示第一列特征值
disp(xz(:, 1)); % 显示第一列特征值
disp(['第二列特征值集合: ']); % 提示显示第二列特征值
disp(xz(:, 2)); % 显示第二列特征值
disp(['第三列特征值集合: ']); % 提示显示第三列特征值
disp(xz(:, 3)); % 显示第三列特征值

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4. 单个均衡点特征值求解

有的时候将求解的多个特征值，一次性求解的时候，可能会出现计算不出来的情况
或者有的时候，只需要求解纯策略均衡点下的特征值
这时候，就可以将自己定义出均衡点的值，代入到矩阵当中
代码如下：

clc;clear;
% 定义符号变量
syms x y z E1 C1 C2 G1 S1 E2 C3 G2 E3 S2 S3 C5;

% 定义方程
fx = x*(1 - x)*(E1 - C1 + y*(C2 + G1 + S1 - E2 + z*E2 - z*C2) + z*(C2 + G2 - E2));
fy = y*(1 - y)*(x*(z*E3 - z*E2 - G1 - S1) - C3 + G1);
fz = z*(1 - z)*(S2 + S3 - C5);

% 计算雅可比矩阵
disp(['雅可比矩阵'])
A = [diff(fx,x) diff(fx,y) diff(fx,z);
     diff(fy,x) diff(fy,y) diff(fy,z);
     diff(fz,x) diff(fz,y) diff(fz,z)];

% 显示雅可比矩阵
disp(A);

% 自定义将计算得到的特征值输入矩阵，例如将 (0, 0, 0) 代入雅可比矩阵
A_at_0 = subs(A, [x, y, z], [0, 0, 0]);

% 计算特征值
eigenvalues = eig(A_at_0);

% 求解出来特征值，并显示特征值
disp(['特征值:'])
disp(eigenvalues);

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