一、演化博弈的原理

1. 基本概念

在演化博弈中，参与者（个体）根据其策略与其他参与者进行互动。每种策略在特定环境下的收益决定了这种策略的成功与否。参与者的策略会随着环境的变化而演变，形成“适者生存”的动态过程。

2. 参与者的策略

在一场博弈中，参与者可以选择不同的策略，这些策略的选择影响其在博弈中的收益。例如，在两个玩家的博弈中，常见的策略包括合作与背叛。通过不断的互动与反馈，成功的策略会在种群中逐渐传播。

3.演化过程

演化过程通常可分为以下几个步骤：

初始化：设定参与者的初始状态（策略）。
动态演化：根据参与者策略的收益变化，更新策略选择。
模拟和可视化：使用数学模型和计算机程序模拟演化过程，并通过图形化方式展示结果。

二、MATLAB 代码解读（博弈参与主体（双方）策略选择的动态演化讨程）

以下是用于模拟双方演化博弈的 MATLAB 代码示例：
下面这样的图就是x，y分别为不同参与主体的博弈行为策略概率

下面为复制动态方程函数，需要改成自己的复制动态方程。
注意下面这个代码要单独为一个文件，然后文件的名字，必须和函数的名字一样，比如下面的函数叫dxdt，那么文件名也必须要这个名字

x(1)表示主体1的概率，x(2)表示为主体2的概率，只能这样顺序的表示

所有的演化代码，都需要以这个文件为基础。

function dxdt = taihu(t, x, s, m, c1, c2, r)
    dxdt = zeros(2, 1);  % 初始化一个二元一次的输出
    dxdt(1) = x(1) * (1 - x(1)) * (r - m - r * x(2));  % x(1) 的变化率
    dxdt(2) = x(2) * (1 - x(2)) * (s - c1 + c2 - c2 * x(1));  % x(2) 的变化率
end

在设置出来动态方程文件后，再创建一个演化文件，为main文件，这个文件命名没有要求

但是[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]);中taihu表示的是之前设置的复制动态方程的文件，需要和文件名称一致。

clc; clear;

s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; r = 10;  % 根据实际情况赋值

figure(1)  % 创建图形窗口

% 不同初始条件的演化
[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]);
plot(x(:, 1), x(:, 2), 'rh-');  % 绘制初始值[0.2, 0.8]的演化路径
hold on

[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.4, 0.6]);
plot(x(:, 1), x(:, 2), 'mx-');  % 绘制初始值[0.4, 0.6]的演化路径
hold on

[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.6, 0.4]);
plot(x(:, 1), x(:, 2), 'bo-');  % 绘制初始值[0.6, 0.4]的演化路径
hold on

[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.8, 0.2]);
plot(x(:, 1), x(:, 2), 'gs-');  % 绘制初始值[0.8, 0.2]的演化路径
hold on

set(gca, 'XTick', [0:0.1:1], 'YTick', [0:0.1:1]);  % 设置坐标轴刻度
axis([0 1 0 1]);  % 设置坐标轴范围
xlabel('$x$', 'interpreter', 'latex');  % x 轴标签
ylabel('$y$', 'interpreter', 'latex', 'rotation', 360);  % y 轴标签
title('动态演化过程');  % 图形标题
legend('初始值[0.2,0.8]', '初始值[0.4,0.6]', '初始值[0.6,0.4]', '初始值[0.8,0.2]');  % 图例

代码过程分析
函数定义：
taihu 函数定义了两种策略（x(1) 和 x(2)）的动态变化率。此函数输入时间 t 和状态 x，以及相关参数 s、m、c1、c2 和 r，并返回 dxdt。

参数设置：
根据实际情况设置参数 s、m、c1、c2 和 r。
使用 ode45 求解：
ode45 是 MATLAB 用于求解常微分方程的函数。在此代码中，使用不同的初始条件 [0.2, 0.8]、[0.4, 0.6]、[0.6, 0.4] 和 [0.8, 0.2] 来模拟演化过程。

绘制演化路径：
使用 plot 函数将每个初始条件下的演化路径绘制在同一图中，便于比较不同策略的动态变化。

图形设置：
设置坐标轴的刻度、范围、标签和标题，并添加图例，以便于理解和分析。

三、MATLAB 代码解读（博弈主体随着时间策略选择的动态演化讨程）

横轴为时间，演化的时间
纵轴为策略的选择概率

以下是代码进行复现的完整 MATLAB 代码：

clc; clear;  % 清除命令窗口和工作区变量
s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; r = 10;  % 根据实际情况赋值
figure(1)  % 创建图形窗口

%%%%%%%%%% line1
[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]);  % 求解微分方程
plot(t, x(:, 1), '*');  % 绘制与 x1 相关的图形
hold on;  % 保持当前图形

%%%%%%%%%% line2
[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.4, 0.6]);  % 求解微分方程
plot(t, x(:, 2), '*');  % 绘制与 x2 相关的图形
hold on;  % 保持当前图形

set(gca, 'XTick', 1:1:10, 'YTick', [0:0.1:1]);  % 设置坐标轴刻度
axis([0 10 0 1]);  % 设置坐标轴范围
xlabel('时间', 'interpreter', 'latex');  % x 轴标签
ylabel('策略值', 'interpreter', 'latex', 'rotation', 360);  % y 轴标签
title('动态演化过程');  % 图形标题
legend('策略 x_1', '策略 x_2');  % 图例

其中两个演化图形的关键区别在于：

代码解析

s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; r = 10; % 根据实际情况赋值
这些变量代表模型中的参数，具体含义取决于所研究的博弈模型。

创建图形窗口：
figure(1) % 创建图形窗口

求解微分方程：
[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]); % 求解微分方程
使用 ode45 函数求解常微分方程，taihu 函数定义了模型的动态。
初始条件为 [0.2, 0.8]。

绘制与 x1 相关的图形：
plot(t, x(:, 1), ‘*’); % 绘制与 x1 相关的图形
hold on; % 保持当前图形

再次求解微分方程：

[t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.4, 0.6]); % 求解微分方程
plot(t, x(:, 2), ‘*’); % 绘制与 x2 相关的图形
hold on; % 保持当前图形

设置坐标轴：
set(gca, ‘XTick’, 1:1:10, ‘YTick’, [0:0.1:1]); % 设置坐标轴刻度
axis([0 10 0 1]); % 设置坐标轴范围
gca 是获取当前坐标轴的句柄，XTick 和 YTick 设置坐标轴的刻度。

添加标签和标题：
xlabel(‘时间’, ‘interpreter’, ‘latex’); % x 轴标签
ylabel(‘策略值’, ‘interpreter’, ‘latex’, ‘rotation’, 360); % y 轴标签
title(‘动态演化过程’); % 图形标题
legend(‘策略 x_1’, ‘策略 x_2’); % 图例

结果如下所示：

四、两方相位图MATLAB 代码复现

clc; clear; % 清除命令窗口和工作空间
s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; r = 10; % 初始化参数

% 外层循环
for i = 0:0.1:1
    % 内层循环
    for j = 0:0.1:1
        [T, Y] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0 100], [i j]); % 求解微分方程
        figure(1); % 创建或激活图形窗口
        grid on; % 打开网格
        plot(Y(:, 1), Y(:, 2)); % 绘制 Y 的第一列和第二列
        hold on; % 保持当前图形
    end
end

% 设置坐标轴刻度
set(gca, 'XTick', [0:0.1:1], 'YTick', [0:0.1:1]);
xlabel('X'); % x 轴标签
ylabel('Y'); % y 轴标签

代码说明
初始化：
clc; clear; 清除命令窗口和工作空间。
定义一些参数 s, m, c1, c2, r。

双重循环：
外层循环遍历 i 从 0 到 1，以 0.1 为步长。
内层循环遍历 j 从 0 到 1，以 0.1 为步长。

ODE 求解：
使用 ode45 函数求解微分方程，调用自定义的 taihu 函数，时间范围为 [0 100]，初始条件为 [i j]。

绘图：
在每次迭代中，创建或激活图形窗口，并绘制 Y 的第一列与第二列的关系。
hold on; 确保所有绘图在同一图形上显示。

设置坐标轴：
使用 set(gca, ‘XTick’, …) 和 ylabel, xlabel 函数设置坐标轴刻度和标签。

注意事项
确保 taihu 函数已定义，并且其输入参数与代码中的一致。
运行此代码需要 MATLAB 环境

发现有空白原点还不是从0开始，修改以下代码:

clc; clear; % 清除命令窗口和工作空间
s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; r = 10; % 初始化参数

% 外层循环
for i = 0:0.1:1
    % 内层循环
    for j = 0:0.1:1
        [T, Y] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0 100], [i j]); % 求解微分方程
        figure(1); % 创建或激活图形窗口
        grid on; % 打开网格
        plot(Y(:, 1), Y(:, 2)); % 绘制 Y 的第一列和第二列
        hold on; % 保持当前图形
    end
end

% 设置坐标轴刻度
set(gca, 'XTick', 0:0.1:1, 'YTick', 0:0.1:1);
xlabel('X'); % x 轴标签
ylabel('Y'); % y 轴标签

% 设置坐标轴范围，确保原点重合
axis([0 1 0 1]); % 设置坐标轴范围
set(gca, 'Box', 'on'); % 开启坐标轴框

嗯嗯，这样就可以了

五、单一参数灵敏度演化图

先设置出来，不改变的参数（s;m;c1;c2），
然后单独设置改变的参数（r）；
用for循环进入函数；

%% 改变单一参数演化过程图

% 主脚本
clc; clear; % 清除命令窗口和工作空间
s = 10; m = 5; c1 = 20; c2 = 5; % 初始化参数

figure(1); % 创建图形窗口

%%%%%% line1
for r = 10 % 循环参数 r
    [t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]); % 初始条件应为两个元素
    plot(t, x(:, 1), '*'); % 绘制 t 与 x1 的图像
    hold on; % 保持当前图形
end

%%%%%% line2
for r = 20 % 循环参数 r
    [t, x] = ode45(@(t, x) taihu(t, x, s, m, c1, c2, r), [0, 10], [0.2, 0.8]); % 初始条件应为两个元素
    plot(t, x(:, 2), 'o'); % 绘制 t 与 x2 的图像
    hold on; % 保持当前图形
end

% 设置坐标轴刻度
% 设置坐标轴刻度
set(gca, 'XTick', 0:1:10, 'YTick', 0:0.1:1); % 设置 X 和 Y 轴的刻度
axis([0 10 0 1]); % 设置坐标轴范围

% 设置 X 轴标签
xlabel('时间', 'Interpreter', 'latex', 'FontWeight', 'bold', 'Fontname', '宋体');
% 设置 Y 轴标签
ylabel('状态变量', 'Interpreter', 'latex', 'Rotation', 360, 'FontWeight', 'bold', 'Fontname', '宋体');
% 设置图形标题
title('动态演化过程', 'Fontweight', 'bold', 'Fontname', '宋体');
% 设置图例
legend('r=10', 'r=20');

这里好像有点问题，和上面的图差不多，代码逻辑应该的没错的，后期还需要再看看，

五、结论

演化博弈论为我们提供了一种分析个体策略选择与环境互动的方法。通过 MATLAB 的编程实现，我们可以模拟并可视化这一复杂的动态过程。希望本文能够帮助您理解双方演化博弈的基本原理与实现方法，欢迎您在实践中进一步探索和应用这一理论！