第七章 二元关系

7.1 有序对与笛卡尔积

有序对

又称序偶

表示形式：<x, y>；x是第一元素，y是第二元素

性质：

• $x\ne y,<x,y>\ne <y,x>$
• 有序对相等必须要两个元素对应相等

笛卡尔积

表示形式： A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A×B = \{<x,y>|x\in A \land y\in B\} A×B={<x,y>∣x∈A∧y∈B}

理解：前面元素来自前面的集合，后面的元素来自后面的集合

性质：

• $A\times \varnothing =\varnothing ，\varnothing \times A=\varnothing$

• $A\times B\ne B\times A(A\ne \varnothing \wedge B\ne \varnothing \wedge A\ne B)$

• $(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)(A\ne \varnothing \wedge B\ne \varnothing \wedge C\ne \varnothing )$

• $$\begin{gathered} A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C) \\ (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A) \\ A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C) \\ (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A) \end{gathered}$$

  理解：笛卡尔积与交并没有先后关系

• $A\subseteq C\wedge B\subseteq D\Rightarrow A\times B\subseteq C\times D$（从范围上去思考；逆命题考虑空集的分配即可讨论）

7.2 二元关系

二元关系

二元关系（简称关系）的集合都满足下面的条件之一：

• 集合非空，且它的元素都是有序对
• 集合是空集

表示形式：$$\begin{gathered} <x,y>\in R\Rightarrow xRy \\ <x,y>\notin R\Rightarrow xR(R上有条斜杠)y \end{gathered}$$

一些特殊关系：

• 从A到B的二元关系：A×B的任何子集所定义的二元关系（A=B时，称为 A上的二元关系）

• 空关系：空集称为A上的空关系

• 全域关系： E A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } = A × A E_A=\{<x,y>|x\in A \land y\in A\} = A×A EA​={<x,y>∣x∈A∧y∈A}=A×A

  理解：第一元素和第二元素都属于A的笛卡尔积

• 恒等关系： I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A=\{<x,x>|x\in A\} IA​={<x,x>∣x∈A}

  理解：第一元素等于第二元素，并属于A集合

• 小于等于关系： L A = { < x , y > ∣ x , y ∈ A , x ≤ y } L_A=\{<x,y>|x,y\in A,x\le y\} LA​={<x,y>∣x,y∈A,x≤y}

  理解：x，y都属于A，但第一元素小于等于第二元素

• 整除关系： D A = { < x , y > ∣ x , y ∈ A , x ∣ y } D_A=\{<x,y>|x,y\in A,x|y\} DA​={<x,y>∣x,y∈A,x∣y}

  同上理解

• 包含关系： R ⊆ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A , x ⊆ y } R_\subseteq=\{<x,y>|x,y\in A,x\subseteq y\} R⊆​={<x,y>∣x,y∈A,x⊆y}

  同上理解

表示关系的方法

• 集合表达式

• 关系矩阵（<i,j>对应（i，j）的位置）

  A={x1,x2,…,xn}，R是A上的关系，则
  $$r_{ij}\{\begin{array}{l}1,x_{i}R{x}_j\\ 0,else\end{array}$$
  则：
  $$M_R=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1n}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots & r_{nn}\end{array}\right)$$

• 关系图

  $<x_i,x_j>\in R$ 那么图中就有一条xi到xj的一条有向边

7.3 关系的运算

习惯：

• 我习惯将右复合说成连接，下面注意分辨
• 限制我是用 $|$ 表示

定义域： d o m R = { x ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) } domR=\{x|\exists y(<x,y>\in R)\} domR={x∣∃y(<x,y>∈R)}

理解：R中所有第一元素组成的集合

值域： r a n R = { y ∣ ∃ x ( < x , y > ∈ R ) } ranR=\{y|\exists x(<x,y>\in R)\} ranR={y∣∃x(<x,y>∈R)}

理解：R中所有第二元素组成的集合

域：$fldR=domR\cup ranR$

理解：R中所有元素的集合

逆关系： R − 1 = { < x , y > ∣ < y , x > ∈ R } R^{-1} = \{<x,y>|<y,x>\in R\} R−1={<x,y>∣<y,x>∈R}

G对F的右复合： F o G = { < x , y > ∣ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ) } FoG=\{<x,y>|\exist t(<x,t>\in F \land <t,y>\in G)\} FoG={<x,y>∣∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}

理解：以某个数为连接数，将两个关系连接起来

R在A上的限制： R ∣ A = { < x , y > ∣ x R y ∧ x ∈ A } R|A=\{<x,y>|xRy\land x\in A\} R∣A={<x,y>∣xRy∧x∈A}

理解：关系R在A的定义域中的集合

A在R下的像：$R[A]=ran(R|A)$

理解：关系R在A的定义域下的集合的值域

R的n次幂： R 0 = { < x , x > ∣ x ∈ A } = I A ( R 为 A 的 关 系 ) R n + 1 = R n o R R^0 =\{<x,x>|x\in A\} =I_A(R为A的关系)\\ R^{n+1}=R^noR R0={<x,x>∣x∈A}=IA​(R为A的关系)Rn+1=RnoR

技巧：

• 对于A的任何关系的0次幂都是$I_A$
• 如果R是用集合表达式给出的，那么通过连接多次即可获得答案
• 如果R是用关系矩阵得出的，那么R的幂就是n个矩阵M之积；但要注意这里相加是逻辑加（$1+1=1,1+0=1,0+1=1,0+0=0$ ）

注意：关系运算的逆运算优先于其他运算，所有关系运算都优先于集合运算

关系的基本运算

• $(F^{-1}{)}^{-1}=F$

  理解：逆的逆等于本身

• $dom{F}^{-1}=ranF,ran{f}^{-1}=domF$

  理解：逆的值域和定义域和原本相反

• $(FoG)oH=F(GoH)$

  理解：都是连接性质的，中间做连接词

• $(FoG{)}^{-1}=G^{-1}o{F}^{-1}$

  理解：连接的逆和逆的连接本质上是一样的（注意顺序）

• $Ro{I}_A=I_{A}oR=R(R为A上的关系)$

  理解：与恒等关系做连接，最后的结果不变

• $$\begin{gathered} Fo(G\cup H)=FoG\cup FoH \\ (G\cup H)oF=GoF\cup HoF \\ Fo(G\cap H)=FoG\cap FoH \\ (G\cap H)oF=GoF\cap HoF \end{gathered}$$

  理解：先并（交）后并（交）对连接没有影响

• $$\begin{gathered} F|(G\cup H)=F|G\cup F|H \\ (G\cup H)|F=G|F\cup H|F \\ F|(G\cap H)=F|G\cap F|H \\ (G\cap H)|F=G|F\cap H|F \end{gathered}$$

  理解：限制对于定义域有影响，但对先交（并）后交（并）没有影响

• 存在自然数s和t，使$R^s=R^t$

  理解：$R^k$都是$E_A$的子集，但是$E_A$是有限个的，所以必当存在两个不同次幂相等

• $R^{m}o{R}^n=R^{m+n}$

  理解：m次连接接着相互连接了n次

• $(R^m{)}^n=R^{nm}$

  理解：经过n次的m次连接

• $R^{s+k}=R^{t+k}(当R^s=R^t)$

  理解：从集合表达式的角度分析，相同的矩阵经过相同次数的连接R，结果应该是相同的

• $(k,i\in N)\exists R^{s+kp+i}=R^{s+i}(当R^s=R^t)\Rightarrow p=t-s$

  理解：p代表的意义：一个矩阵经过连接p次会得到原来的矩阵

• s < t ;    R s = R t S = { R 0 , r 1 , . . . , R t } ;    ∀ q ∈ N ⇒ R q ∈ S s<t;\;R^s=R^t\\S=\{R^0,r^1,...,R^t\};\;\forall q\in N\Rightarrow R^q\in S s<t;Rs=RtS={R0,r1,...,Rt};∀q∈N⇒Rq∈S

  理解：这种连接的过程是渐进的，出现重复代表开始新一轮的循环

7.4 关系的性质

自反性：$\forall x(x\in A\to <x,x>\in R)$，R在A上是自反的

理解：所有A中的元素，在R中都有一二序列相等的有序对

理解（课本给出的，下面也提到，加深印象）：R包含$I_A$

反自反性：$\forall x(x\in A\to <x,x>\notin R)$，R在A上是反自反的2

理解：所有的A中的元素，在R中都没有一二序列相等的有序对

对称性：$\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\to <y,x>\in R)$，R为A上对称的关系

理解：所有在R中一二序列元素属于A集合中的有序对的逆序对也存在R中

反对称性：$\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,x>\in R\to x=y)$，R为A上的反对称

理解：R中不能存在一二元素都存在于A集合中的互逆有序对（要两个的那种）

传递性：$\forall x\forall y\forall z(x,y,z\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,z>\in R\to <x,z>\in R)$，R在A上由传递关系

理解：所有一二序列的元素相等的两个有序对的其他一二序列元素（三个元素都要存在于A集合中）

组成的有序对存在R中

一些定理（充分别要条件的）

• 自反性：$I_A\subseteq R$

  理解：自反需要的是包含$I_A$

• 反自反性：$R\cap I_A=\varnothing$

  理解：刚好与上面相反

• 对称性：$R=R^{-1}$

  理解：存在互逆有序对（反了一样是充分必要条件要注意区分）

• 反对称性：$R\cap R^{-1}\subseteq I_A$

  理解：R与其的逆的交集都是存在于$I_A$

• 传递性：$RoR\subseteq R$

  理解：自身连接后的关系还是存在于自身的

7.5 关系的闭包

自反闭包（对称，传递）$R’$满足的条件：

• $R^{\prime }$是自反的（对称或传递）
• $R\subseteq R^{\prime }$
• 对于A上任何包含R的自反（对称或传递）关系$R^{\prime \prime }$有$R^{\prime }\subseteq R^{\prime \prime }$

理解：在R中添加最少数量的有序对使其变成自反的（对称或传递）

一些关系：

• 自反闭包$r(R)=R\cup R^0$

• 对称闭包$s(R)=R\cup R^{-1}$

• 传递闭包$t(R)=R\cup R^2\cup R^3....$；推论：存在r使得$t(R)=R\cup R^2\cup R^3...\cup R^r$

  理解：在R的基础上，将必要的有序对加上；推论的理解：后面会重复循环，所以有特殊值；证明的过程，就证明定义的三个条件（不会）

• R是自反的当且仅当$r(R)=R$

• R是对称的当且仅当$s(R)=R$

• R是传递的当且仅当$t(R)=R$

• 在$R_1\subseteq R2$的情况下，

  • $r(R_1)\subseteq r(R_2)$

  • $r(R_1)\subseteq r(R_2)$

  • $r(R_1)\subseteq r(R_2)$

    理解：一开始的条件就已经确定了大小关系，后面只是添加一些大家都缺少的的东西而已

• 若R是自反的，那么$s(R)$和$t(R)$也是自反的

  理解：自反只需要包含$I_A$即可

• 若R是对称的，那么$r(R)$和$t(R)$也是对称的

  理解：理解点就是$t(R)$这一块：因为对称的是两边互通的，所以要变成传递性，他也会两各方向都加一个的

• 若R是传递的，那么$r(R)$是传递的

  理解：$r(R)$只是在顶点上自身操作，不会影响传递性，但$s(R)$会在顶点与顶点之间操作，会导致传递性出现问题（只有一个有序对的时候）

7.6 等价关系与划分

等价关系：R是自反的、对称的和传递的，则称R是A上的等价关系；$<x,y>\in R$称x等价于y，记作x~y

等价类：
[ x ] R = { y ∣ y ∈ A ∧ x R y } [x]_R=\{y|y\in A \land xRy\} [x]R​={y∣y∈A∧xRy}
$[x{]}_R$为x关于R的等价类，简称x的等价类，简记$[x]$或$\overline{x}$

举例说明：

设$A=1,2,3,4...,8$，其A上的关系R为：
R = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d    3 ) } R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y(mod\;3) \} R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}
注：$x\equiv y(mod3)$称做x于y模3相等；就是x除以3的余数和y除以3的余数相等

通过下图可以看出R是A上的等价关系

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-q4dkj2ns-1623078816642)(img/等价关系.png)]

看关系图分成三部分，每一部分所有顶点被分为一个等价类

所以上图的等价类为：

[ 1 ] = [ 4 ] = [ 7 ] = { 1 , 4 , 7 } [ 2 ] = [ 5 ] = [ 8 ] = { 2 , 5 , 8 } [ 3 ] = [ 6 ] = { 3 , 6 } [1]=[4]=[7]=\{1,4,7\}\\ [2]=[5]=[8]=\{2,5,8\}\\ [3]=[6]=\{3,6\} [1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}

同理，在整数集上模n的等价关系类似

等价关系的性质：

• $\forall x\in A,[x]$是A的非空子集

  理解：一定是有一个集合的，最小也有一个元素

• $\forall x,y\in A$，如果xRy，那么[x]=[y]

  理解：只有相互之间有关系的才会在一个等价类中

• $\forall x,y\in A$，如果xR（有条斜线），则[x]与[y]不交

• ∪ { [ x ] ∣ x ∈ A } = A \cup\{[x]|x\in A\}=A ∪{[x]∣x∈A}=A

  理解，所有等价类的并集就是A本身

商集：以所有等价类作为元素的集合，称为A关于R的商集
A / R = { [ x ] R ∣ x ∈ A } A/R=\{[x]_R|x\in A\} A/R={[x]R​∣x∈A}
集合的划分：一个$\pi$（$\pi \subseteq P(A)$）满足下面条件：

• $\varnothing \notin \pi$

• $\forall x\forall y(x,y\in \pi \wedge x\ne y\to x\cap y=\varnothing )$

  理解：两个集合不相等，那么他们之间一定不交

• $\cup \pi =A$

划分有很多种，商集只是其中一种

7.7 偏序关系

偏序关系：R是自反的，反对称的和传递的，称R为A上的偏序关系，记作$\le$，设$\le$为偏序关系，如果$<x,y>\in \le$，记作$x\le y$，读作：x小于等于y

这里的小于等于不是指数的关系，而是指在偏序关系中的顺序性

x小于等与y，表示依照这个序，x排在y的前面，或x就是y

设$\le$为非空集合A上的偏序关系，定义：

• $\forall x,y\in A,x<y\iff x\le y\wedge x\ne y$

• $\forall x,y\in A,x与y可比\iff x\le y\vee y\le x$

  理解：可比就是两者之间要有互相包含的关系；如果全是可比的就称为全序关系（线性关系）

集合A和A上的偏序关系$\le$一起称作偏序集，记作$<A,\le >$
利用偏序关系的性质可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图

设$<A,\le >$为偏序集，$\forall x,y\in A$，如果$x<y$且不存在$z\in A$使得$x<z<y$则称y覆盖x

理解：就是y只比x多一个元素

画哈斯图的步骤：

• $x<y$—>将x画在y的下方
• y覆盖x，就用一条线段连接

通过哈斯图得有序对：底下是第一序列往上写（下面可以跳的（传递性））

最小（大）元：只有一个，就是最小（大）

极小（大）元：可以有很多个（就是小（大）的大家一样大）

附加

• 证明一般都可以使用命题演算法（就是写出元素的属于关系）也可以使用归纳法
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