介绍

\quad \quad Bootstrap又称自展法、自举法、自助法、靴带法 , 是统计学习中一种重采样(Resampling)技术，用来估计标准误差、置信区间和偏差

\quad \quad Bootstrap是现代统计学较为流行的一种统计方法，在小样本时效果很好。机器学习中的Bagging，AdaBoost等方法其实都蕴含了Bootstrap的思想，在集成学习的范畴里 Bootstrap直接派生出了Bagging模型.

用子样本来类比总体

举例
\quad \quad 我要统计鱼塘里面的鱼的条数，怎么统计呢？假设鱼塘总共有鱼1000条，我是开了上帝视角的，但是你是不知道里面有多少。

步骤：

1. 承包鱼塘，不让别人捞鱼(规定总体分布不变)。
2. 自己捞鱼，捞100条，都打上标签(构造样本)
3. 把鱼放回鱼塘，休息一晚(使之混入整个鱼群，确保之后抽样随机)
4. 开始捞鱼，每次捞100条，数一下，自己昨天标记的鱼有多少条，占比多少(一次重采样取分布)。
5. 重复3，4步骤n次。建立分布。

（原理是中心极限定理）

假设一下，第一次重新捕鱼100条，发现里面有标记的鱼12条，记下为12%，放回去，再捕鱼100条，发现标记的为9条，记下9%，重复重复好多次之后，假设取置信区间95%，你会发现，每次捕鱼平均在10条左右有标记，所以，我们可以大致推测出鱼塘有1000条左右。其实是一个很简单的类似于一个比例问题。这也是因为提出者Efron给统计学顶级期刊投稿的时候被拒绝的理由–“太简单”。这也就解释了，为什么在小样本的时候，bootstrap效果较好，你这样想，如果我想统计大海里有多少鱼，你标记100000条也没用啊，因为实际数量太过庞大，你取的样本相比于太过渺小，最实际的就是，你下次再捕100000的时候，发现一条都没有标记，就尴尬了。。。

上述是通过 Bootstrap 方法对鱼塘中鱼的数目进行估计，通过这个举例我们可以总结如下：设总体的分布$F$未知，但已经有一个容量为$n$的来自分布$F$的数据样本，通过有放回抽样的方法抽取$m$个容量为$n$的样本，对这$m$个抽样容量统一计算结果来估计原始的总体分布 $F$， 称为Bootstrap方法

下面继续介绍，如果要估计出某个特征数据的原始均值，标准差，方差等情况，应该是怎么样的呢？

传统估计方法

传统方法中一般会考虑直接使用样本方差（sample variance）来作为估计值。
$$\hat{\mu }=\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$$

$${\hat{S}}^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$$
$$\hat{\sigma }=\frac{S^2}{n}$$

其中：$\hat{\mu }$ 为均值估计，${\hat{S}}^2$ 为方差估计值， $\hat{\sigma }$ 为标准差估计值

比如有三个样本 $X=1,2,3$，求样本的方差作为估计值。

Bootstrap 方法

放回抽样，比如上述例子中，有可能第一次抽到 ①，第二次也抽到 ①，第三次还是抽到 ①，对三个样本 $X=1,2,3$，放回抽样 1000 次，用这 1000 次抽样的结果分别计算出各自的均值 $\bar{x}$ , 然后再利用这 1000 个值，计算其整体的均值，方差等统计量，这就是 Bootstrap 方法，如下图所示：

实际案例

假设有两个金融资产$X$和$Y$，现在想要合理配置这两个资产，使得其资产组合的风险最小。也就是找到一个$\alpha$，使得$Var(\alpha X+(1-\alpha )X)$最小。（Var 表示方差）

将上式展开得到 ${\alpha }^{2}Var(X)+(1-\alpha {)}^{2}Var(X)+\alpha (1-\alpha )Cov(XY)$，首先，通过对 $\alpha$ 求一阶导等于0，再求二阶导大于0，得到最优 $\alpha$ 表达式如下：
$$\alpha =\frac{{\sigma }_Y^2-{\sigma }_{XY}}{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2-2{\sigma }_{XY}}$$

其中 ${\sigma }_X^2=Var(X),{\sigma }_Y^2=Var(Y),$ and ${\sigma }_{XY}=Cov(X,Y)$

实际的 ${\sigma }_X^2,{\sigma }_Y^2,{\sigma }_{XY}$ 的值并不知道，只能通过现有的样本 $X$ 和 $Y$ 对其进行估计，并用估计值 ${\hat{\sigma }}_X^2,{\hat{\sigma }}_Y^2$ 以及 ${\hat{\sigma }}_{XY}$ 计算出估计值 $\hat{\alpha }$，如下：

$$\hat{\alpha }=\frac{{\hat{\sigma }}_Y^2-{\hat{\sigma }}_{XY}}{{\hat{\sigma }}_X^2+{\hat{\sigma }}_Y^2-2{\hat{\sigma }}_{XY}}$$

现在的任务就是用一种合理方式去估计 ${\hat{\sigma }}_X^2,{\hat{\sigma }}_Y^2$ 以及 ${\hat{\sigma }}_{XY}$，Bootstap 方法如下：对样本进行有放回采样 1000 次，每次采样 100 个样本，计算每个抽样结果的 $\hat{\alpha }$，在这 1000 个 $\hat{\alpha }$ 上计算 $\hat{\alpha }$ 的均值作为 $\alpha$ 的估计结果：

可以发现，通过Bootstrap方法，竟然不仅可以估计$\alpha$的值（ 这点普通方法也可以很容易做到），还可以估计$\alpha$的accuracy也就是其Standard Error。这可是只利用原有的样本进行一次估计所做不到的。那么Bootstrap对于分布特性的估计效果究竟如何呢？请看下图：

左边是真实的$\alpha$，右边则是基于bootstrap方法得到的1000个$\alpha$的分布，可以看到，二者是比较相近的，也就是说Bootstrap有着不错的估计效果。而且当重复次数增多，Bootstrap的估计效果会更好。
不仅是$\alpha$的标准差，如果我们想要估计$\alpha$的中位数、分位数等统计量，也是可以通过Boostrap方法做到的。

本质上，Bootstrap 方法，是将一次的估计过程，重复上千次上万次，从而便得到了得到上千个甚至上万个的估计值，于是利用这不止一个的估计值，我们就可以估计$\alpha$均值以外的其他统计量：比如标准差、中位数等。

代码实现解决案例中的问题

数据集： 共 100 条数据

导入包和数据

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
df = pd.read_csv('Bootstrap.csv')
df.head(3) # 取前 3 条数据

用传统方法估计 X 总体均值和方差

#普通统计方法估计总体均值和方差
sample_mean = np.mean(df.X)
print("population mean is ",sample_mean )
sample_variance = np.var(df.X)
print("population variance is ",sample_variance/len(df.X ))

Bootstrap估计 X 总体均值和方差：

# 有放回的抽样一次后计算均值代码示例
from random import choices
index = np.random.choice(range(100),100) # 从 1 - 100 个数据中，随机选取，共选 100 个
np.mean(df.X[index])

sample_mean_list = [] # 存储每次抽样后的样本均值
for i in range(1000): # 共计又放回抽样 1000 次
    index = np.random.choice(range(100),100) # 每次抽样 100 个样本
    sample_mean_list.append(np.mean(df.X[index])) 
    
print("population mean is ",np.mean(sample_mean_list ))
population_variance = np.var(sample_mean_list)
print("population variance is ",population_variance)

# 通过柱状图展现 1000 次抽样结果
plt.hist(sample_mean_list)
plt.show()

解决案例中的选择 $\alpha$ 来最小化 $Var(\alpha X+(1-\alpha )X)$：

# 用公式定义求解 alpha 的函数
def alpha_hat(data):
    x = data.X 
    y = data.Y
    covariance = np.cov(x,y)[0][1] # 计算 x 与 y 的协方差
    var_x =np.var(x) # 计算 x 的方差
    var_y =np.var(y) # 计算 y 的方差
    return (var_x-covariance)/(var_y+var_x-2*covariance)

执行 Bootstrap 方法进行抽样，获得最终结果

sample_mean_list = []
for i in range(100):
    index = np.random.choice(range(100),100)
    sample_mean_list.append(alpha_hat(df.iloc[index,:]))

print("The optimal alpha is： ",np.mean(sample_mean_list))
print("The variance of alpha is ",np.var(sample_mean_list))
plt.hist(sample_mean_list)

References

[1] 统计学中的Bootstrap方法（Bootstrap抽样）

[2] 统计学中的Bootstrap方法介绍及其应用

[3] 『迷你教程』机器学习的Bootstrap及Python实现

[4] 机器学习：Bootstrap

[5] 【机器学习】Bootstrap详解