介绍

离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理中一种重要工具，它将一个等间隔采样的有限序列转换为相同长度的复数序列，表示该序列在频域中的频率成分。理解DFT的性质对于有效分析和处理频域中的信号至关重要。

本文将详细解释DFT的以下性质：

1. 线性性
2. 对称性
3. 周期性
4. 时移与频移
5. 实值输入的性质
6. 使用快速傅里叶变换（FFT）的高效计算

1. 线性性

定义：

DFT 是一种线性变换。这意味着如果你有两个信号 $x_1(n)$ 和 $x_2(n)$，它们的DFT分别为 $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$，那么这些信号的线性组合同样遵循线性性。

数学表达式：

如果：
$$x_1(n)\stackrel{\text{DFT}}{\leftrightarrow }{X}_1(k)$$
$$x_2(n)\stackrel{\text{DFT}}{\leftrightarrow }{X}_2(k)$$

那么对于任意标量 $a_1$ 和 $a_2$：
$$a_1{x}_1(n)+a_2{x}_2(n)\stackrel{\text{DFT}}{\leftrightarrow }{a}_1{X}_1(k)+a_2{X}_2(k)$$

解释：

• 线性性 意味着在时域中对信号进行缩放和相加，频域中的DFT也会按比例缩放和相加。
• 这个性质在信号分析和合成中非常重要，因为它允许将复杂信号分解为简单的成分。

示例：

假设：
$$x_1(n)=[1,2,3,4]$$
$$x_2(n)=[2,3,4,5]$$

计算它们的DFT $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$，并验证 $a_1{x}_1(n)+a_2{x}_2(n)$ 对应于 $a_1{X}_1(k)+a_2{X}_2(k)$。

设 $a_1=1$， $a_2=-1$：

• 时域：
  $$x(n)=x_1(n)-x_2(n)=[1-2,2-3,3-4,4-5]=[-1,-1,-1,-1]$$

• 频域：
  $$X(k)=X_1(k)-X_2(k)$$

计算 $X(k)$ 并验证它与 $x(n)$ 的DFT匹配。

2. 对称性

定义：

DFT 具有对称性，尤其是当信号是偶数或奇数时。

偶数信号：

• 信号 $x_p(n)$ 是偶数的，如果：
  $$x_p(n)=x_p(-n)$$

• 它的DFT满足：
  $$X(k)=X(-k)$$

奇数信号：

• 信号 $x_p(n)$ 是奇数的，如果：
  $$x_p(n)=-x_p(-n)$$

• 它的DFT满足：
  $$X(k)=-X(-k)$$

解释：

• 对称性属性是由于DFT中使用的复指数基函数的固有对称性。
• 对于周期信号，这些属性可以扩展，考虑DFT的周期性。

示例：

考虑一个偶数信号 $x(n)$：

• $x(n)=x(-n)$
• 令 $N=8$（DFT长度），且 $x(n)=\cos \left(\frac{2\pi n}{8}\right)$
• 由于余弦函数是偶函数，$x(n)$ 是偶数信号。
• 因此，$X(k)=X(-k)$，这意味着DFT的幅值在 $k=0$ 处对称。

3. 周期性

定义：

DFT 及其逆变换具有周期性，周期为 $N$。

数学表达式：

• 在时域：
  $$x(n+N)=x(n)$$

• 在频域：
  $$X(k+N)=X(k)$$

解释：

• DFT 假设输入序列是无限周期序列中的一个周期。
• 时域信号和DFT在频域中都具有相同周期 $N$。

示例：

考虑一个长度为 $N=4$ 的信号 $x(n)$：

• $x(n)=[1,2,3,4]$
• 周期性延拓 $x(n)$：
  $$x(n)=x(n+4)$$
  所以，
  $$x(0)=x(4)=1$$
  $$x(1)=x(5)=2$$
  依此类推。

4. 带周期性的扩展对称性

对于一个 $N$ 点的DFT，对称性可以结合周期性表达：

• 偶对称性：
  $$x(n)=x(N-n)⟹X(k)=X(N-k)$$

• 奇对称性：
  $$x(n)=-x(N-n)⟹X(k)=-X(N-k)$$

解释：

• 由于 $x(n)$ 以周期 $N$ 为周期，$x(-n)$ 可以表示为 $x(N-n)$。
• 这使得可以在 $[0,N-1]$ 范围内用正索引表示对称性。

示例：

给定 $N=8$，如果 $x(n)=x(8-n)$，那么 $x(1)=x(7)$，$x(2)=x(6)$ 等。

5. 实值输入的性质

共轭对称性：

如果 $x(n)$ 是实值信号，则DFT具有共轭对称性：

$$X(k)=X^{\ast }(-k)=X^{\ast }(N-k)$$

• $X^{\ast }(k)$ 表示 $X(k)$ 的复共轭。

幅值对称性：

$$|X(k)|=|X(-k)|=|X(N-k)|$$

解释：

• 实值信号的DFT具有对称的幅值和共轭对称的相位。
• 这意味着幅度谱是对称的，而相位谱是反对称的。

示例：

对于一个实值信号 $x(n)$：

• 计算 $X(k)$。
• 验证 $\text{Re}[X(k)]=\text{Re}[X(N-k)]$ 和 $\text{Im}[X(k)]=-\text{Im}[X(N-k)]$。
• 幅值 $|X(k)|$ 将围绕 $k=0$ 对称。

6. 时移与频移

时移：

时域中的循环（周期性）平移对应于频域中的线性相移。

数学表达式：

如果：
$$x^{\prime }(n)=x((n-l)\mathrm{mod}N)$$

那么：
$$X^{\prime }(k)=e^{-j\frac{2\pi kl}{N}}X(k)$$

解释：

• 将信号在时域中平移 $l$ 个样本，相当于在频域中乘以复指数 $e^{-j\frac{2\pi kl}{N}}$。
• 这会引入频域中的线性相移，但不会影响幅值谱。

示例：

将信号 $x(n)$ 平移 $l=2$ 个样本：

• $x^{\prime }(n)=x((n-2)\mathrm{mod}N)$
• 计算 $X(k)$ 和 $X^{\prime }(k)$。
• 验证 $X’(k) = e^{-j\frac{4\pi k}{N}}

X(k)$。

频移：

在时域中乘以复指数会导致频域中的信号平移。

7. 快速傅里叶变换（FFT）

定义：

FFT 是一种高效计算DFT的算法，当 $N$ 是2的幂时尤为有效。

解释：

• 计算复杂度：
  • 直接计算DFT需要 $O(N^2)$ 次运算。
  • FFT 将其减少到 $O(N{\log }_{2}N)$ 次运算。
• 基-2 FFT 算法：
  • 将DFT分解为偶数和奇数索引点的较小DFT（分而治之）。
  • 递归地应用此过程，直到DFT大小为2。

示例：

使用FFT计算 $x(n)=[1,2,3,4]$ 的DFT：

1. 分割序列：

   • 偶数索引元素：$x_e(n)=[1,3]$
   • 奇数索引元素：$x_o(n)=[2,4]$

2. 计算较小序列的DFT。

3. 合并结果：

   • 使用“蝶形”运算合并 $x_e(n)$ 和 $x_o(n)$ 的DFT。

附加性质与示例

1. Parseval定理：

时域中的总能量等于频域中的总能量：

$$\sum _{n=0}^{N-1}|x(n){|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k){|}^2$$

示例：

计算 $x(n)=[1,2,3,4]$ 在时域和频域中的能量，验证Parseval定理。

2. 卷积定理：

时域中的循环卷积对应于频域中的乘法，反之亦然。

• 时域循环卷积：
  $$x_3(n)=x_1(n)⊛x_2(n)$$

• 频域乘法：
  $$X_3(k)=X_1(k)\cdot X_2(k)$$

示例：

使用DFT计算两个序列的循环卷积，验证 $X_1(k)\cdot X_2(k)$ 的逆DFT等于 $x_3(n)$。

实际应用

1. 信号重建：

理解这些性质对于从DFT重建信号尤其重要，尤其是在修改特定频率成分时。

2. 滤波：

• 通过修改频域中的 $X(k)$（例如，将某些频率设为零）可以滤波信号。
• 对称性属性有助于设计具有实值脉冲响应的滤波器。

3. 频谱分析：

• 分析 $X(k)$ 的幅值和相位可以提供关于信号频率内容的见解。
• 对称性简化了实值信号的频谱解释。

结论

掌握DFT的性质可以有效地操作和分析离散信号。线性性、对称性、周期性和时移-频移性质是实现各种信号处理应用的基础。FFT算法的高效性使得对大序列计算DFT成为可能，这在现代数字信号处理任务中至关重要。

通过学习示例并理解这些性质的原理，您将对DFT的工作原理以及如何在实际场景中利用其特性建立直观认识。

进一步阅读的参考文献：

• 《离散时间信号处理》 - Oppenheim 和 Schafer
• 《数字信号处理：原理、算法与应用》 - Proakis 和 Manolakis
• 在线资源：
  • MIT OpenCourseWare: Signals and Systems
  • Khan Academy: Fourier Transforms