分治算法：最大子数组和

题目描述：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

思路：这个分治方法类似于「线段树求解最长公共上升子序列问题」的 pushUp 操作。也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐阅读线段树区间合并法解决多次询问的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 aa 序列 [l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l,r]，我们取 m=(l+r)/2，对区间 [l,m] 和 [m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 1 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l,m] 区间的信息和 [m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l,r] 的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？
对于一个区间 [l,r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l,r] 内以 l 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l,r] 内以 r 为右端点的最大子段和
mSum 表示[l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l,r] 的区间和
以下简称 [l,m] 为 [l,r] 的「左子区间」，[m+1,r] 为 [l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l,r] 的信息）?

对于长度为 1 的区间 [i,i]，四个量的值都和 nums[i] 相等。

对于长度大于 1 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间 [l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑[l,r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 m——它可能不跨越 m，也就是说 [l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 m，可能是「左子区间」的 rSum 和「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
这样问题就得到了解决。

//分治算法
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return getInfo(nums, 0, nums.length - 1).mSum;
    }

    //含有四个属性，分别表示四种不同的区间和
    public class Status {
        public int lSum, rSum, mSum, iSum;

        
        public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {
            this.lSum = lSum;//表示[l,r]内以左端点为开始的最大子区间和
            this.rSum = rSum;//表示[l,r]内以右端点为结尾的最大子区间和
            this.mSum = mSum;//表示[l,r]内的最大子区间和
            this.iSum = iSum;//表示[l,r]的区间和
        }
    }

    public Status pushUp(Status l, Status r) {
        int iSum = l.iSum + r.iSum;//总区间和等于左右子区间和相加
        //对于[l,r]的lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的lSum，要么等于「左子区间」的iSum 加上「右子区间」的lSum，二者取大。
        int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        //对于[l,r]的rSum，存在两种可能，它要么等于「右子区间」的rSum，要么等于「左子区间」的rSum 加上「右子区间」的iSum，二者取大。
        int rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
        /**
        它可能不跨越 m，也就是说[l,r]的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和 「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 m，可能是「左子区间」的 rSum  和「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
         */
        int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);
    }

    public Status getInfo(int[] a, int l, int r) {
        //左端点等于右端点，即该数组只有一个元素，则四种区间和均为a[l]
        if (l == r) {
            return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]);
        }
        //位运算，右移一位。将一个数的各二进制位右移1位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0
        /*
        右移一位和除二的区别:
        1、n为非负数时，>> 1 和 / 2 的结果是一样的
        2、n为负数且还是偶数时，>> 1 和 / 2 的结果也是一样的
        3、n为负数且还是奇数时，>> 1 和 / 2 的结果不是一样的
        原因是：奇数除二会发生截断现象，而>> 1 和 / 2 在n为负奇数时截断的方向不一样
        */
        int m = (l + r) >> 1;
        Status lSub = getInfo(a, l, m);
        Status rSub = getInfo(a, m + 1, r);
        return pushUp(lSub, rSub);
    }
}

分治算法：最大子数组和

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