题目：国王和金矿问题
有一个国家发现了max_n座金矿，参与挖矿工人的总数是max_people人。每座金矿的黄金储量不同为一维数组gold[]，需要参与挖掘的工人数也不同为一维数组peopleNeed[]。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？
功能：
(1) 要求max_n、max_people、gold和ppeopleNeed均为可输入的；
(2) 编写DP函数，求解答案F；
(3) 编写main主函数，完成输入，调用DP函数和显示答案结果。
样例输入1：
5
92 22 87 46 90
100
77 22 29 50 99
样例输出1：
133
3 4
思路：
max_n看做物品的数量n ；
max_people看做背包容量c ；
gold看做物品的价值v；
peopleNeed看做物品的重量w 。
根据01背包问题求解即可。
伪码：
Function knapsack(n, c, *w, *v)
输入：物品数量n，背包容量c，物品的重量*w，物品的价值*v
输出：放入背包的物品和背包中的最大价值
- for i ← 0 to n - 1 do //为表格赋初值
- for j ← 0 to w[i] do
- m[i, j] ← 0;
- for j ← w[i] to c do
- m[i, j] ← v[i];
- for i ← 0 to n - 1 do //将价值最高的重新填入表格
- for j ← 0 to w[i] do
- if j < w[i] then
- m[i,j] ← m[i-1, j];
- else
- m[i,j] ← max{ m[i-1, j], m[i-1,j-w[i]] + v[i] }
- for i ← n-1 to 1 do//判断第2至n个物品是否放入背包
- if m[i][c] =m[i-1][c] then//第i个物品没放入背包
- x[i] ← 0
- else//第i个物品放入背包
- x[i] ← 1
- c ← c - w[i]
- if m[0][c] > 0//第1个物品是否放入背包
- x[0] ← 1//是
- else
- x[0] ← 0//否
时间复杂度：O(nc)
具体：
用二维数组创建一个表格，先给表格赋初值：
j < w[ i ] 时，m[ i ][ j ] = 0 ；
w[ i ] < j < c 时，m[ i ][ j ] = v[ i ] 。
再由第 i 个物品的放或者不放重填表格：
j < w[ i ] 时（不放），m[ i ][ j ] = m[ i - 1 ][ j ] ；
否则（放），取 m[ i - 1 ][ j ]（不放）和 m[ i - 1 ][ j - w[ i ] ] + v[ i ]（放）的最大值
m[ i ][ j ] = max( m[ i - 1 ][ j ], ( m[ i - 1 ][ j - w[ i ] ] + v[ i ] ) ) 。
此时，背包的最大价值为 m[ n ][ c ] 。
接着求放了哪几个物品：
for(i = n - 1; i > 0; i--){
if(m[i][c] == m[i-1][c]){
x[i] = 0;
}else{
x[i] = 1;
c = c - w[i];
}
}
if(m[0][c] > 0){
x[0] = 1;
}else{
x[0] = 0;
}
实现：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int max(int a, int b){
if(a > b){
return a;
}else{
return b;
}
}
void knapsack(int n, int c, int *w, int *v){
int i,j;
int m[n][c+1];
int *x;
x = (int*)malloc(n * sizeof(int));
//先给表格赋初值
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < w[i]; j++){
m[i][j] = 0;
}
for(j = w[i]; j < c + 1; j++){
m[i][j] = v[i];
}
}
/*
for(i = 0;i<n;i++){
for(j=0;j<c+1;j++){
printf("%d\t",m[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
*/
for (i = 1; i < n; i++) {
for (j = 0; j < c + 1; j++) {
if (j < w[i]){
m[i][j] = m[i - 1][j];
}
else{
m[i][j] = max(m[i - 1][j], (m[i - 1][j - w[i]] + v[i]));
}
}
}
/*
for(i = 0;i<n;i++){
for(j=0;j<c+1;j++){
printf("%d\t",m[i][j]);
}
printf("\n");
}
*/
printf("能够得到黄金的价值为：%d\n",m[n-1][c]);
//判断放入背包的物品
for(i = n - 1; i > 0; i--){
if(m[i][c] == m[i-1][c]){
x[i] = 0;
}else{
x[i] = 1;
c = c - w[i];
}
}
if(m[0][c] > 0){
x[0] = 1;
}else{
x[0] = 0;
}
printf("应该挖取第");
for(i = 0; i < n; i++){
if(x[i] == 1){
printf("%d,",i+1);
}
}
printf("座金山");
}
int main(){
int max_n,max_people;
int *gold,*peopleNeed;
int i,j;
//物品的数量n
printf("金矿（max_n）的数量：");
scanf("%d",&max_n);
//物品的价值v
gold = (int*)malloc(max_n * sizeof(int));
for(i = 0; i < max_n; i++){
printf("第%d座金矿的黄金储量：",(i+1));
scanf("%d",&gold[i]);
}
//背包容量c
printf("参与挖矿工人（max_people）的数量：");
scanf("%d",&max_people);
//物品的重量w
peopleNeed = (int*)malloc(max_people * sizeof(int));
for(i = 0; i < max_n; i++){
printf("挖掘第%d座金矿需要参与挖掘的工人数：",(i+1));
scanf("%d",&peopleNeed[i]);
}
knapsack(max_n,max_people,peopleNeed,gold);
return 0;
}