一.引子

在研究某个人在时间t的生存概率时，影响其生存概率的因素有两大主要因素：

(一)：时间：随着时间的推进，一个人会逐渐衰老到死亡，不论外界环境如何时间都是必须考虑的因素。

(二)：主观因素：比如一个人不抽烟从常识上来说是比抽烟的人寿命要长的，再比如说从事喷漆类的工作其寿命要比普通工作的人要短，那么这些主观因素也是必须要考虑在内的。

简单的总结：随着时间的推移，死亡概率一定会不断增大，同时受到主观因素的制约，至于该主观因素是提高死亡率还是降低死亡率，每个个体情况是并不相同的。

此处可以给出Cox模型大致思想的表达式：风险率(风险指标)=关于时间的函数 × 关于主观因素的函数。

二. survival analysis 相关知识入门：

(一)：生存分析：研究的是对象生存时间的分布情况，从而了解实验条件对生存时间的影响。之所以使用“生存”这个词，是因为这种分析技术常用于描述病人在接受某种治疗后，他们生存时间的分布情况，但在应用方面是绝不仅限于此的。

(二)：删失(censor)：所有没有观察到的或者没有观察完整的数据都叫做删失，其中删失又分为了左右删失和区间删失：

右删失：比如在对于癌症患者进行生存跟踪研究中，在观察结束时刻t某些患者依然存活，只知道的信息是这某些患者存活时间，这就叫做右删失；

左删失：在进行研究前研究对象就发生了特征事件；

区间删失：在跟踪研究过程中，研究对象比如病人中途一段时间不配合记录相关数据，这种即区间删失。

(三)：生存函数S(t)：即，其中T是对象存活时间，意义是对象存活时间超过某一时间t的概率值。

(四)：累计死亡函数F(t)：即，同上，意义是对象存活时间不超过某一时间t的概率值，即当观察随访到t时刻的累计死亡率。它其实是时间T分布的累计分布函数(Cumulative Distribution Function)，显然有

(五)：死亡概率函数f(t)：根据概率论的知识，这个函数即累积分布的导数，意义是对象在某时刻t的一瞬间死亡的概率，精确的定义为：

(六)：风险率：非常重要的概念，因为后续Cox模型基本假设的定义就是使用风险率来给出的，比如t时刻之前有100个存活病人，t时刻一瞬间有10个人死亡，这时候风险率为 ，Cox模型的因变量就是风险率值，精确的定义为：，仔细看它与死亡概率函数的定义是有区别的，多了一个条件时。

三. Cox模型基本形式

此处直接给出Cox模型的基本形式：，(t与X即上述提到的影响生存的两大因素)

符号解释：

(一)：：即引子中提到的主观因素，在Cox中叫做协变量，不同的研究个体有不同的协变量，从公式中可看出其对风险率是有影响的。

(二)：：协参数，类似线性回归里的参数向量，它也是一个向量，向量的长度同主观因素的个数是相同的（类似线性回归特征个数和参数个数相同），我们建立模型过程大部分的精力就是放在求解协参数β上，求解用到了部分似然估计，具有一定的技巧性。

β与风险函数h(t,X)之间的关系：

①β>0，则X取值越大，h(t,X)值越大，表示患者死亡的风险越大；

②β<0，则X取值越大，h(t,X)值越小，表示患者死亡的风险越小；

③β=0，则X取值对h(t,X)没有影响。

(三)：：风险基准函数，就是引子中提到的关于时间t的函数，这个函数只与时间t有关，与特征无关，并且该模型中没有给出风险基准函数的基本形式，只要满足非负连续即可，当为0时，Cox模型只与风险基准函数有关。

四. 求解

在引出似然函数之前，先说一个例子，如果有三个人，分别用三个特征向量来表示：，使三人分别在时刻处死亡；在t=1时刻，我们希望最大概率地使死亡，最大概率地存活；在t=2时，死亡，存活；在t=3时，死亡。

再用数学符号来描述一下刚才每个时刻的语言描述，t=1时：，其中就是Cox模型函数，指的是个体在t=1时刻一瞬间死亡的风险，max这个函数也就达到了"最大概率地使死亡，最大概率地存活"的目的；同理，t=2时：没有问题；但是在t=3时，已经没有存活的对象，分母为0了，于是考虑在分母处加上与分子相同的一项作为平滑项。添加平滑项后的三个时刻的概率表示为：、、。

写出似然函数为：

下面对似然函数抽象化，假如有N个个体，第i个个体的特征向量为，时间为，可得表达式为：

得到对数偏似然函数,之所以叫偏似然函数(partial likelihood funtion)是因为我们把基准风险函数约去了，与时间无关

对β求偏导：

=

对求偏导：

最后令导数为0：,求解这个关于β的函数即可，此时求出的β就是在其他参数保持不变时能够使似然函数达到最大概率值的β取值。

五. 参考文献：

[1] Cox D R . Regression Models and Life‐Tables[J]. Journal of the Royal Statal Society: Series B (Methodological), 1972, 34(2).

[2] 周艳巍. Cox模型及其应用[D]. 延边：延边大学理学院数学系, 2009.

[3] 百度百科. “Cox回归”词条[EB]/[OL]. https://baike.baidu.com/item/COX%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/8894307?fr=aladdin

[4] 知乎 胡保强. "如何理解和使用生存分析?". https://zhuanlan.zhihu.com/p/49482538

[5] Wikipedia. "Proportional Hazards model". https://en.wikipedia.org/wiki/Proportional_hazards_model

[6] 邵斌. 关于Cox回归模型你需要知道的数学. http://blog.sciencenet.cn/blog-927304-876450.html

[7] chenz1hao,生存分析之Cox模型简述与参数求解. https://blog.csdn.net/qq_29941979/article/details/109520443