平衡二叉树底层结构——红黑树（c＋＋实现）

前言：

与AVL树一样，红黑树也是一种平衡二叉树，因其高效的结构，它与AVL树都在计算机科学中被广泛使用，它们查找的时间复杂度都是O（N）。我们在上一期已经学过了AVL树，今天这期文章将会详细地介绍红黑树，红黑树的一些操作与AVL树类似，而由于我们学过AVL树，红黑树里的一些概念我们理解起来也会更加轻松。

1. 红⿊树的概念

红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。也就是说，在一棵二叉搜索树中，它的结点不是黑色就是红色，通过一些规则，使最多节点的路径不会超过最少节点的路径的2倍，由此规则，这棵二叉搜索树被约束成了二叉搜素树，具体规则我们下面介绍。

1.1 红⿊树的规则

1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊。
2. 根结点是黑色的。
3. 如果⼀个结点是红色的，则它的两个孩⼦结点必须是黑色的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红色结点。
4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点。

乍一看，这就是几条平平无奇的规则，实则就是因为这几条规则牢牢控制了红黑树相对平衡的结构，因为每条路线的黑色节点都一样多，且红色节点的孩子节点不能是黑色的，所以造成了最小节点路径的节点是全黑，而最多节点路径的节点是一黑一红，这样最多节点的路径的节点最多不会超过最少节点路径节点的两倍。

说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道⼀下这个概念即可。

1.2 思考⼀下，红⿊树如何确保最⻓路径不超过最短路径的2倍的？

（1）由规则4可知，从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的⿊⾊结点，所以极端场景下，最短路径就就是全是⿊⾊结点的路径，假设最短路径⻓度为bh(black height)。
（2）由规则2和规则3可知，任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点，所以极端场景下，最⻓的路径就是⼀⿊⼀红间隔组成，那么最⻓路径的⻓度为2*bh。
（3）综合红⿊树的4点规则⽽⾔，理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x，那么bh <= h <= 2*bh。

1.3 红⿊树的效率

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么 2 −, 由此推出。h 1 <= N < 2 −2∗h 1
h ≈ logN ，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 2 ∗ logN ，那么时间复杂度还是
O(logN）。

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

2. 红黑树的实现

2.1 红⿊树的结构

实现红黑树，我们依然定义一个节点类和一个红黑树类：

// 枚举值表⽰颜⾊
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
// 这⾥我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
// 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};

2.2 红黑树的插入

红黑树的插入是我们要讲的重点章节，也是主要章节，红黑树AVL结构最明显的差别就体现在插入上。

2.2.1 红黑树树插入一个值的大概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种情况分别处理。
说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为
g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）。

2.2.2 情况1：变色

c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相
当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新
是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束
了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊。
情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。

图0：

（1）跟AVL树类似，图0我们展示了⼀种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。
（2）图1将以上类似的处理进⾏了抽象表达，d/e/f代表每条路径拥有hb个⿊⾊结点的⼦树，a/b代表每条路径拥有hb-1个⿊⾊结点的根为红的⼦树，hb>=0。
（3）图2/图3/图4，分别展⽰了hb == 0/hb == 1/hb == 2的具体情况组合分析，当hb等于2时，这⾥组合情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理⽅式⼀样的，变⾊再继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可。

图一：

图二：

图三：

图四：

代码实现：

//叔叔存在且为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
				uncle->_col = parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				//向上调整
				parent = cur->_parent;
				//如果下一次cur的父亲还是红色，
				//那么继续进行调整
}

2.2.3 情况2：单旋+变色

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊。

如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是黑⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

如果p是g的右，c是p的右，那么以g为旋转点进⾏左单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

图一：

2.2.4 情况2：双旋+变色

如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

2.3 红黑树的插入代码实现

// 旋转代码的实现跟AVL树是⼀样的，只是不需要更新平衡因⼦
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
// 新增结点。颜⾊红⾊给红⾊
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
//
g
// p
u
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// u存在且为红 -》变⾊再继续往上处理
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// u存在且为⿊或不存在 -》旋转+变⾊
if (cur == parent->_left)
{
//
g
// p
u
//c
//单旋
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
//
g
// p
u
//
c
//双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
//
g
// u
p
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红，-》变⾊即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为⿊
{
// 情况⼆：叔叔不存在或者存在且为⿊
// 旋转+变⾊
//
g
//
u
p
//
c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
//
g
//
u
p
//
c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}

2.4 红黑树的查找

按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}

2.5 红黑树的验证

这⾥获取最⻓路径和最短路径，检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的，因为就算满⾜这个条件，红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则，当前暂时没出问题，后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还是去检查4点规则，满⾜这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。

1. 规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
2. 规则2直接检查根即可
3. 规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
4. 规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。

实现一个测试文件test.c：

#include"BRTree.h"
#include<iostream>
using namespace std;



void TestRBTree1()
{
	RBTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

int main()
{
	TestRBTree1();

	return 0;
}

运行一下：

可以看到，红黑树的查找没有任何问题，下面的一表示在满足红黑树的四条规则下的相对平衡。

这期的内容到这就结束了，代码放在下面，感兴趣的小伙伴可以拿来测试一下。

3. 完整代码

RBTree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
	{}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
public:
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = pParent;
		}
	}


	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		// 链接父亲
		cur->_parent = parent;

		while (parent&&parent->_col==RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;

				//叔叔存在且为红色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					uncle->_col = parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					cur = grandfather;
					//向上调整
					parent = cur->_parent;
					//如果下一次cur的父亲还是红色，
					//那么继续进行调整
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandfather);
						grandfather->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					else
					{
						//左右双旋
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
						
					}
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				

					if (uncle && uncle->_col == RED)
					{
						uncle->_col = parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

						cur = grandfather;
						//向上调整
						parent = cur->_parent;
					}
					else
					{
						if (cur == parent->_right)
						{
							RotateL(grandfather);
							grandfather->_col = RED;
							parent->_col = BLACK;
						}
						else
						{
							//右左双旋
							RotateR(parent);
							RotateL(grandfather);

							cur->_col = BLACK;
							grandfather->_col = RED;

						}
						break;

					}
				

			}
			
		}



		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;

		if (_root->_col == RED)
			return false;

		// 参考值
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}

private:

			bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
			{
				if (root == nullptr)
				{
					// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
					//cout << blackNum << endl;
					if (refNum != blackNum)
					{
						cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
						return false;
					}
					return true;
				}

				// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
				if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
				{
					cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
					return false;
				}

				if (root->_col == BLACK)
				{
					blackNum++;
				}

				return Check(root->_left, blackNum, refNum)
					&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
			}

			void _InOrder(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
				{
					return;
				}

				_InOrder(root->_left);
				cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
				_InOrder(root->_right);
			}

			int _Height(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return 0;
				int leftHeight = _Height(root->_left);
				int rightHeight = _Height(root->_right);
				return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
			}

			int _Size(Node* root)
			{
				if (root == nullptr)
					return 0;

				return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
			}

private:

	Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"BRTree.h"
#include<iostream>
using namespace std;



void TestRBTree1()
{
	RBTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
}

int main()
{
	TestRBTree1();

	return 0;
}

本章完。