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一.图的基本介绍
1.为什么要有图
1)我们学了线性表和树
2)线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3)树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4)当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图:
2.图的常用概念
1)顶点(vertex)
2)边(edge)
3)路径
4)无向图(右图)
无向图:顶点之间的连接没有方向，比如A-B,即可以是A->B也可以B->A .
路径:比如从D->c的路径有: 1)D->B->C 2)D->A->B->C
5)有向图
有向图:顶点之间的连接有方向，比如A-B,只能是A->B 不能是B->A.
6)带权图
带权图:这种边带权值的图也叫网.
3.图的表示方式
图的表示方式有两种:二维数组表示()邻接矩阵);链表表示（邻接表）。
1.邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1..….n个点。
2.邻接表
1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造
成空间的一定损失.
2)邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接
表由数组+链表组成
说明:
1)标号为o的结点的相关联的结点为1,2,3,4
2)标号为1的结点的相关联结点为0 4
3)标号为2的结点相关联的结点为0
二.图的创建和代码实现
1.代码实现以下结构
2.思路分析
(1)存储顶点string使用ArrayList (2)保存矩阵int[][] edges
3.代码实现
public class Graph {
public ArrayList<String> vertexList;//存储顶点的集合
public int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
public int numOfEdges; //表示边的数目
//初始化
public Graph(int n) {
edges=new int[n][n];
vertexList=new ArrayList<>(n);
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
//添加边
/**
*
* @param v1 第一个顶点的下标
* @param v2 第二个顶点的下标
* @param weight 表示权重
*/
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
edges[v1][v2]=weight;
edges[v2][v1]=weight;
}
//返回顶点的个数
public int getNumOfVertex(){
return vertexList.size();
}
//返回结点i对应的数据
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//返回v1,v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2){
return edges[v1][v2];
}
//返回边的个数
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdges;
}
//返回图对应的矩阵
public void showGraph(){
for (int[] edge : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(edge));
}
}
}
测试:
public static void main(String[] args) {
String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};
Graph graph = new Graph(5);
//添加顶点
for (String s : vertex) {
graph.insertVertex(s);
}
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.showGraph();
}打印:
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
三.图的遍历
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点，
需要特定策略，一般有两种访问策略:⑴深度优先遍历(⑵)广度优先遍历
1.深度优先遍历(DFS)
图的深度优先搜索(Depth First Search) .
1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入而不是对一个结点的
所有邻接结点进行横向访问。
3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v，并标记结点v为已访问
2)查找结点v的第一个邻接结点w。
3)若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续
4)若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5)查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
2.代码实现(DFS)
public class Graph {
//得到第一个邻接节点的下标w
//如果存在就返回对应的下标,否则就返回-1
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (edges[index][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2 + 1; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
//返回结点i对应的数据
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//深度优先遍历算法
public void dfs(boolean[] isVisted, int i) {
//首先访问此结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
//将该结点设置成已经访问过
isVisted[i] = true;
//查找i结点的第一个邻接节点
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {//存在
if (!isVisted[w]) {
dfs(isVisted, w);
}
//如果w结点已经被访问过了
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs进行重载,遍历所有的结点,并进行dfs
//避免不连通的情况出现
public void dfs() {
//遍历所有的结点
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisted[i]) {
dfs(isVisted, i);
}
}
}
}打印结果:
A-->B-->C-->D-->E-->
3.广度优先遍历(BFS)
图的广度优先搜索(Broad First Search)
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，
以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
1)访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2)结点v入队列
3)当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4)出队列，取得队头结点u。
5)查找结点u的第一个邻接结点w。
6)若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3, 否则循环执行以下三个步骤:
6.1若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2结点w入队列
6.3查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6
4.代码实现(BFS)
//广度优先遍历
//对dfs进行重载,遍历所有的结点,并进行dfs
//避免不连通的情况出现
public void bfs() {
isVisted=new boolean[getNumOfVertex()];
//遍历所有的结点
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisted[i]) {
bfs(isVisted, i);
}
}
}
public void bfs(boolean[] isVisted, int i) {
int u; //表示队列头结点对应的下标
int w; //邻接节点w
//队列,记录结点访问的顺序
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
System.out.print(getValueByIndex(i) + "-->");
//标记为已访问
isVisted[i] = true;
queue.add(i);
while (!queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = queue.remove();
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {//找到存在的
//是否访问过
if (!isVisted[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w)+"-->");
//标记访问过
isVisted[w] = true;
queue.add(w);
}
//以u为前驱节点找w后面的下一个邻接点
w = getNextNeighbor(u, w);//体现出广度优先
}
}
}
打印结果:
A-->B-->C-->D-->E-->
5.深度优先遍历和广度优先遍历的对比
遍历如下图所得的结点输出顺序为
1)深度优先遍历顺序为 : 1->2->4->8->5->3->6->7 (类似于树的先序遍历)
2)广度优先算法的遍历顺序为 : 1->2->3->4->5->6->7->8 (类似于树的层级遍历)